Devoir sur 20 : Équations et fonctions polynômes du second degré

Devoir d'une heure, noté sur 20 points, sans calculatrice, construit comme l'épreuve anticipée : 6 points d'automatismes, 12 points d'exercices, 2 points de maîtrise de la langue. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Partie 1 : automatismes (6 points)

Réponses courtes, sans justification. Chaque question vaut 1 point.

Développer $(2x - 3)^2$ .
Factoriser $x^2 - 49$ .
Résoudre $(x + 2)(3x - 1) = 0$ .
Quel est le signe de $(x - 2)(x + 1)$ pour $x \in\ ]-1\,;2[$ ?
Donner les racines de $x^2 - x - 12$ .
Écrire $x^2 + 8x + 10$ sous forme canonique.

Exercice 1 (7 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$ .

Vérifier que $-1$ est une racine de $f$ . En déduire l'autre racine, puis une forme factorisée de $f(x)$ . (1,5 point)
Montrer que $f(x) = 2(x - 1)^2 - 8$ . (1 point)
Donner l'extrémum de $f$ et dresser son tableau de variations. (1,5 point)
Résoudre l'inéquation $f(x) \leq 0$ . (1 point)
Résoudre l'équation $f(x) = -6$ . (1 point)
Soit $m$ un réel. Pour quelle valeur de $m$ l'équation $2x^2 - 4x + m = 0$ a-t-elle une seule solution ? (1 point)

Exercice 2 (5 points)

Un plongeur saute d'un tremplin. Sa hauteur au-dessus de l'eau, en mètres, $t$ secondes après le saut, est modélisée par $h(t) = -5t^2 + 5t + 10.$

Aide au calcul : $\sqrt5 \approx 2{,}24$ .

Calculer $h(0)$ et interpréter ce résultat. (0,5 point)
Vérifier que $h(t) = -5(t - 2)(t + 1)$ . À quel instant le plongeur entre-t-il dans l'eau ? (1 point)
Vérifier que $h(t) = -5\left(t - \dfrac12\right)^2 + \dfrac{45}{4}$ . Quelle est la hauteur maximale atteinte, et à quel instant ? (1,5 point)
Pendant combien de temps le plongeur est-il au moins à la hauteur du tremplin ? (1 point)
À quel instant passe-t-il à $5$ mètres de l'eau ? Donner une valeur approchée au dixième. (1 point)

Maîtrise de la langue (2 points)

La qualité de la rédaction est évaluée sur l'ensemble de la copie : orthographe, construction des phrases, vocabulaire mathématique, organisation du raisonnement.

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Partie 1 : automatismes

(1 pt) $(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$ .
(1 pt) $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$ .
(1 pt) Les solutions sont $-2$ et $\dfrac13$ .
(1 pt) L'expression est négative : $a = 1 > 0$ et $x$ est entre les racines.
(1 pt) Somme $1$ , produit $-12$ : les racines sont $4$ et $-3$ .
(1 pt) $x^2 + 8x + 10 = (x + 4)^2 - 16 + 10 = (x + 4)^2 - 6$ .

Exercice 1

1. (1,5 pt) On a $f(-1) = 2 + 4 - 6 = 0$ , donc $-1$ est une racine de $f$ . Le produit des racines vaut $\dfrac{c}{a} = -3$ , donc l'autre racine est $3$ . Ainsi $f(x) = 2(x + 1)(x - 3)$ .

2. (1 pt) On développe : $2(x - 1)^2 - 8 = 2\left(x^2 - 2x + 1\right) - 8 = 2x^2 - 4x - 6 = f(x)$ .

3. (1,5 pt) Comme $a = 2 > 0$ , la fonction $f$ admet un minimum, égal à $-8$ , atteint en $1$ .

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$f$		décroissante	$-8$	croissante

4. (1 pt) D'après la forme factorisée, et comme $a > 0$ , l'expression est négative entre les racines. L'ensemble des solutions est $[-1\,;3]$ .

5. (1 pt) $f(x) = -6$ équivaut à $2x^2 - 4x = 0$ , soit $2x(x - 2) = 0$ . Les solutions sont $0$ et $2$ .

6. (1 pt) L'équation a une seule solution si et seulement si son discriminant est nul. Or $\Delta = 16 - 8m$ , et $16 - 8m = 0$ équivaut à $m = 2$ .

Exercice 2

1. (0,5 pt) $h(0) = 10$ : le tremplin est à $10$ mètres au-dessus de l'eau.

2. (1 pt) On développe : $-5(t - 2)(t + 1) = -5\left(t^2 - t - 2\right) = -5t^2 + 5t + 10 = h(t)$ . Le plongeur entre dans l'eau quand $h(t) = 0$ , avec $t \geq 0$ : la seule solution positive est $t = 2$ . Il entre dans l'eau au bout de $2$ secondes.

3. (1,5 pt) On développe : $-5\left(t^2 - t + \dfrac14\right) + \dfrac{45}{4} = -5t^2 + 5t - \dfrac54 + \dfrac{45}{4} = -5t^2 + 5t + 10 = h(t)$ . Comme $a = -5 < 0$ , la hauteur est maximale pour $t = \dfrac12$ . Le plongeur atteint $\dfrac{45}{4} = 11{,}25$ mètres au bout d'une demi-seconde.

4. (1 pt) $h(t) \geq 10$ équivaut à $-5t^2 + 5t \geq 0$ , soit $-5t(t - 1) \geq 0$ . Comme $a < 0$ , l'expression est positive entre les racines $0$ et $1$ . Le plongeur est au moins à la hauteur du tremplin pendant $1$ seconde.

5. (1 pt) $h(t) = 5$ équivaut à $-5t^2 + 5t + 5 = 0$ , soit $t^2 - t - 1 = 0$ . On a $\Delta = 1 + 4 = 5$ . La seule solution positive est $t = \dfrac{1 + \sqrt5}{2} \approx \dfrac{3{,}24}{2} \approx 1{,}6$ . Le plongeur passe à $5$ mètres de l'eau environ $1{,}6$ seconde après le saut.

Maîtrise de la langue

(2 pts) La note de service de l'épreuve anticipée (11 septembre 2026, NOR MENE2622640N) consacre deux points sur vingt « à la maîtrise des normes orthographiques et syntaxiques ainsi qu'à la capacité à formuler un raisonnement et à utiliser un vocabulaire juste et adapté ». Son annexe observe quatre dimensions : l'orthographe, la syntaxe et la construction des phrases, le lexique, la mise en forme et l'organisation de la réflexion.

Dans ce devoir, on attend par exemple : une phrase de conclusion à chaque question de l'exercice 2, avec l'unité ; les mots justes (racine, solution, extrémum, discriminant) ; des connecteurs qui montrent le raisonnement (donc, or, comme, on en déduit).