Trigonométrie

Leçon 1 : Cosinus, sinus et tangente dans le triangle rectangle

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Les trois côtés

Dans un triangle rectangle, on choisit un angle aigu, noté $\alpha$.

• L'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit. C'est le plus long côté.
• Le côté adjacent à $\alpha$ est le côté qui touche $\alpha$ et qui n'est pas l'hypoténuse.
• Le côté opposé à $\alpha$ est le côté en face de $\alpha$.

Si l'on change d'angle aigu, le côté adjacent et le côté opposé s'échangent. L'hypoténuse ne change pas.

1.2 Trois quotients

$\cos\alpha = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}, \qquad \sin\alpha = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}, \qquad \tan\alpha = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}.$

Ces quotients ne dépendent que de l'angle $\alpha$ : deux triangles rectangles qui ont le même angle $\alpha$ sont des agrandissements l'un de l'autre. Comme l'hypoténuse est le plus long côté, on a $0 < \cos\alpha < 1$ et $0 < \sin\alpha < 1$ pour un angle aigu.

Exemple 1. Un triangle a pour côtés $3$, $4$ et $5$. On a $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, il est rectangle. Pour l'angle $\alpha$ placé entre les côtés $4$ et $5$ : $\cos\alpha = \frac45, \qquad \sin\alpha = \frac35, \qquad \tan\alpha = \frac34.$

Automatisme. Dans un triangle rectangle, on nomme d'abord les trois côtés par rapport à l'angle, puis on écrit le quotient.

1.3 Calculer une longueur

On repère ce que l'on connait et ce que l'on cherche, puis on choisit le quotient qui les relie.

Exemple 2 (le clocher). À $40$ mètres du pied d'un clocher, la visée du sommet fait un angle de $35^\circ$ avec le sol. On suppose l'œil au niveau du sol. On connait le côté adjacent et on cherche le côté opposé $h$ : on utilise la tangente. $\tan 35^\circ = \frac{h}{40}, \quad\text{donc}\quad h = 40 \times \tan 35^\circ.$ On donne $\tan 35^\circ \approx 0{,}7$. Ainsi, $h \approx 40 \times 0{,}7 = 28$ : le clocher mesure environ $28$ mètres.

1.4 Une relation utile

Soit $a$ le côté adjacent, $b$ le côté opposé et $c$ l'hypoténuse. On écrit $\cos^2\alpha$ pour $(\cos\alpha)^2$, et $\sin^2\alpha$ pour $(\sin\alpha)^2$. Alors $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1,$ puisque $a^2 + b^2 = c^2$ d'après le théorème de Pythagore.

$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1.$

Sur l'exemple 1 : $\dfrac{16}{25} + \dfrac{9}{25} = 1$.

De plus, en divisant le sinus par le cosinus, l'hypoténuse disparait : $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Exemple 3. Pour un angle aigu tel que $\cos\alpha = \dfrac{5}{13}$ : $\sin^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}.$ Comme $\sin\alpha > 0$, on a $\sin\alpha = \dfrac{12}{13}$. Alors $\tan\alpha = \dfrac{12}{13} \times \dfrac{13}{5} = \dfrac{12}{5}$.

1.5 Une limite

Ces définitions n'existent que pour un angle aigu d'un triangle rectangle. Aucun triangle rectangle ne donne $\cos 120^\circ$ ni $\sin(-1)$. Pour aller plus loin, on passe au cercle.

Leçon 2 : Cercle trigonométrique, radian et longueur d'arc

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 Le cercle trigonométrique

Dans un repère orthonormé d'origine $O$, on note $I(1\,;0)$ et $J(0\,;1)$.

Définition. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, parcouru dans le sens direct, c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Son périmètre vaut $2 \times \pi \times 1 = 2\pi$.

2.2 La longueur d'un arc

Sur ce cercle, la longueur d'un arc est proportionnelle à l'angle au centre qui le découpe.

2.3 Le radian

Définition. Un radian est la mesure de l'angle au centre qui découpe, sur un cercle, un arc de même longueur que le rayon.

Sur le cercle trigonométrique, le rayon vaut $1$ : la mesure en radians d'un angle est la longueur de l'arc qu'il découpe. Un tour complet mesure $2\pi$ radians, et un radian vaut environ $57^\circ$.

2.4 Degrés et radians

La mesure en degrés et la mesure en radians sont proportionnelles : $180^\circ$ correspondent à $\pi$ radians.

Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$. Pour passer des radians aux degrés, on multiplie par $\dfrac{180}{\pi}$.

Exemple 4. $150^\circ = 150 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}$ radians. Dans l'autre sens, $\dfrac{3\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = 135$ : $\dfrac{3\pi}{4}$ radians font $135^\circ$.

Automatisme. Le tableau ci-dessus se sait par cœur. Les autres angles s'en déduisent : $120^\circ = 2 \times 60^\circ$, donc $120^\circ = \dfrac{2\pi}{3}$ radians.

2.5 Sur un cercle de rayon $R$

L'arc grandit dans la même proportion que le rayon. Sur un cercle de rayon $R$, un angle au centre de mesure $\alpha$ en radians découpe un arc de longueur $\ell = R \times \alpha.$

Exemple 5 (l'horloge). L'aiguille des minutes d'une horloge de gare mesure $60$ centimètres. En $20$ minutes, elle fait un tiers de tour, soit un angle de $\dfrac{2\pi}{3}$ radians. Son extrémité parcourt $\ell = 60 \times \frac{2\pi}{3} = 40\pi \approx 126 \text{ centimètres}.$

Leçon 3 : Enroulement de la droite et image d'un réel

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 L'enroulement

On pose la droite des réels verticalement contre le cercle trigonométrique, son zéro sur le point $I$, les nombres positifs vers le haut. On enroule la partie positive dans le sens direct, et la partie négative dans l'autre sens. Le fil ne s'étire pas : les longueurs sont conservées.

Définition. Chaque réel $x$ arrive ainsi sur un point $M$ du cercle. Ce point s'appelle l'image du réel $x$.

• Si $x > 0$, on part de $I$ et on parcourt un arc de longueur $x$ dans le sens direct.
• Si $x < 0$, on part de $I$ et on parcourt un arc de longueur $-x$ dans le sens inverse.

3.2 Premières images

On note $I'(-1\,;0)$ et $J'(0\,;-1)$.

3.3 Plusieurs réels, un même point

Ajouter $2\pi$, c'est faire un tour de plus : $x$ et $x + 2\pi$ ont la même image. Il en va de même en retirant un tour.

Exemple 6. $2\pi$ a pour image $I$, comme $0$. Et $-\dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} - 2\pi$ a la même image que $\dfrac{\pi}{2}$ : le point $J$.

À chaque réel correspond un seul point du cercle. Mais à chaque point du cercle correspondent une infinité de réels, qui diffèrent d'un nombre entier de tours. Parmi eux, un seul appartient à l'intervalle $]{-\pi}\,;\pi]$.

3.4 Placer un point

On lit le réel comme une fraction du demi-tour $\pi$.

Exemple 7.

• $\dfrac{5\pi}{6}$ : on coupe le demi-cercle du haut en $6$ parts égales et on en compte $5$ à partir de $I$.
• $\dfrac{3\pi}{4}$ : on coupe le demi-cercle du haut en $4$ parts et on en compte $3$.
• $-\dfrac{2\pi}{3}$ : on tourne dans l'autre sens. On coupe le demi-cercle du bas en $3$ parts et on en compte $2$ à partir de $I$.

3.5 Plus d'un tour

On retire les tours entiers : $2\pi$, $4\pi$, $6\pi$…

Exemple 8.

• $\dfrac{7\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi$ : même image que $\dfrac{\pi}{3}$, car $2\pi = \dfrac{6\pi}{3}$.
• $-\dfrac{11\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} - 2\pi$ : même image que $\dfrac{\pi}{6}$.
• $\dfrac{19\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 4\pi$ : même image que $\dfrac{3\pi}{4}$, car $4\pi = \dfrac{16\pi}{4}$.

Méthode pour placer un point.

1. Retirer les tours entiers.
2. Lire le réel obtenu comme une fraction de $\pi$.
3. Tourner dans le sens direct s'il est positif, dans l'autre sens s'il est négatif.

Leçon 4 : Cosinus et sinus d'un nombre réel

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 La définition

Définition. Soit $x$ un réel et $M$ son image sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de $x$, noté $\cos x$, est l'abscisse de $M$. Le sinus de $x$, noté $\sin x$, est l'ordonnée de $M$ : $M(\cos x\,;\sin x).$

Le cosinus se lit sur l'axe horizontal, le sinus sur l'axe vertical. Cette définition vaut pour tout réel $x$, positif ou négatif.

4.2 Les valeurs sur les axes

4.3 Encadrement et signes

Le point $M$ reste sur le cercle. Pour tout réel $x$, $-1 \leq \cos x \leq 1 \qquad\text{et}\qquad -1 \leq \sin x \leq 1.$

Les signes se lisent sur les quatre quarts du cercle.

Exemple 9. On a $\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57 < 2 < 3{,}14 \approx \pi$ : le point image de $2$ est en haut à gauche. Donc $\cos 2 < 0$ et $\sin 2 > 0$.

4.4 Même image, mêmes valeurs

Deux réels qui ont la même image ont le même cosinus et le même sinus, puisque c'est le même point.

Exemple 10. $5\pi = \pi + 4\pi$ a pour image $I'$, donc $\cos 5\pi = -1$. Et $\dfrac{9\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + 4\pi$ a pour image $J$, donc $\sin\dfrac{9\pi}{2} = 1$.

4.5 Le lien avec le triangle rectangle

Soit $x$ un réel tel que $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$, et $M$ son image. Soit $H$ le point de l'axe des abscisses situé juste sous $M$. Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, son hypoténuse mesure $OM = 1$, et son angle en $O$ mesure $x$ radians. Alors $\cos x = \frac{OH}{OM} = OH \qquad\text{et}\qquad \sin x = \frac{HM}{OM} = HM.$ On retrouve l'abscisse et l'ordonnée de $M$ : les deux définitions sont d'accord. Ainsi, $\cos 60^\circ$ et $\cos\dfrac{\pi}{3}$ sont le même nombre.

4.6 La relation, pour tout réel

Pour tout réel $x$, le point $M(\cos x\,;\sin x)$ est à la distance $1$ de l'origine. En écrivant cette distance avec les coordonnées : $\cos^2 x + \sin^2 x = 1.$

Exemple 11. On suppose que $\cos x = -\dfrac35$ et $\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \pi$. Alors $\sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$. Dans ce quart du cercle, $\sin x \geq 0$, donc $\sin x = \dfrac45$.

4.7 La corde des Anciens

La trigonométrie a été utilisée chez les Anciens dans des problèmes de géométrie, de géographie et d'astronomie. Elle reposait alors sur la corde, le segment qui joint les extrémités d'un arc, bien moins facile à manier que le sinus et le cosinus d'aujourd'hui. Sur le cercle trigonométrique, la corde d'un arc de longueur $2x$, pour $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$, vaut $2\sin x$.

Leçon 5 : Valeurs remarquables

Voir la vidéo de la leçon 5

Les deux démonstrations de cette leçon sont à connaître.

5.1 Démonstration pour $\pi/4$

Soit $M$ l'image de $\dfrac{\pi}{4}$ et $H$ le point de l'axe des abscisses situé sous $M$. Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, et son angle en $O$ mesure $45^\circ$. Son angle en $M$ mesure donc aussi $45^\circ$ : le triangle est isocèle en $H$. On pose $a = OH = HM$.

D'après le théorème de Pythagore, $a^2 + a^2 = 1$, soit $2a^2 = 1$, soit $a^2 = \dfrac12$. Comme $a > 0$, $a = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{1 \times \sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}.$

$\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}.$

5.2 Démonstration pour $\pi/3$

Soit $M$ l'image de $\dfrac{\pi}{3}$. On a $OI = OM = 1$ : le triangle $OIM$ est isocèle en $O$, et son angle en $O$ mesure $60^\circ$. Ses deux autres angles mesurent donc aussi $60^\circ$ : il est équilatéral.

Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $M$. Dans un triangle équilatéral, cette hauteur est aussi une médiane : $H$ est le milieu de $[OI]$, donc $OH = \dfrac12$. Ainsi, $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12$.

Dans le triangle $OHM$ rectangle en $H$, le théorème de Pythagore donne $HM^2 = 1 - \dfrac14 = \dfrac34$. Comme $HM > 0$, $HM = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac12 \qquad\text{et}\qquad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}.$

5.3 Et $\pi/6$ ?

Dans le même triangle $OHM$, l'angle en $M$ mesure $30^\circ$, soit $\dfrac{\pi}{6}$ radian. Pour cet angle, le côté opposé est $OH$ et le côté adjacent est $HM$ : $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{OH}{OM} = \frac12 \qquad\text{et}\qquad \cos\frac{\pi}{6} = \frac{HM}{OM} = \frac{\sqrt3}{2}.$

5.4 Le tableau à connaître

Automatisme. Pour retrouver le tableau : le sinus vaut $\dfrac{\sqrt0}{2}$, $\dfrac{\sqrt1}{2}$, $\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\dfrac{\sqrt4}{2}$, et le cosinus prend les mêmes valeurs dans l'ordre inverse.

5.5 Utiliser les valeurs

Exemple 12 (le téléphérique). Une cabine parcourt $600$ mètres sur un câble tendu en ligne droite, incliné de $\dfrac{\pi}{6}$ par rapport à l'horizontale. Elle s'élève de $h = 600 \times \sin\frac{\pi}{6} = 600 \times \frac12 = 300 \text{ mètres},$ et elle avance à l'horizontale de $d = 600 \times \cos\frac{\pi}{6} = 600 \times \frac{\sqrt3}{2} = 300\sqrt3 \text{ mètres}.$ Avec $\sqrt3 \approx 1{,}73$, on a $d \approx 519$ mètres.

Leçon 6 : Angles associés

Voir la vidéo de la leçon 6

Les symétries du cercle donnent toutes les autres valeurs, sans calcul. On lit tout sur le cercle.

6.1 Symétrie par rapport à l'axe des abscisses

Le symétrique de l'image de $x$ par rapport à l'axe des abscisses est l'image de $-x$ : on a tourné du même angle, dans l'autre sens. Les deux points ont la même abscisse et des ordonnées opposées. Pour tout réel $x$ : $\cos(-x) = \cos x \qquad\text{et}\qquad \sin(-x) = -\sin x.$

Exemple 13. $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12$ et $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt3}{2}$.

6.2 Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

Le symétrique de l'image de $x$ par rapport à l'axe des ordonnées est l'image de $\pi - x$. Les deux points ont la même ordonnée et des abscisses opposées. Pour tout réel $x$ : $\sin(\pi - x) = \sin x \qquad\text{et}\qquad \cos(\pi - x) = -\cos x.$

Exemple 14. $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$, donc $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ et $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac12$.

6.3 Symétrie par rapport à l'origine

Le symétrique de l'image de $x$ par rapport à l'origine est l'image de $\pi + x$ : on a ajouté un demi-tour. Les deux coordonnées sont opposées. Pour tout réel $x$ : $\cos(\pi + x) = -\cos x \qquad\text{et}\qquad \sin(\pi + x) = -\sin x.$

Exemple 15. $\dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3}$, donc $\cos\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac12$ et $\sin\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt3}{2}$.

6.4 Lire une valeur en trois étapes

Inutile d'apprendre ces formules par cœur : le cercle les redonne.

Méthode.

1. Repérer la valeur remarquable cachée dans le réel.
2. Placer le point sur le cercle.
3. Lire les signes. Au signe près, les valeurs sont celles de la valeur remarquable.

Exemple 16. $\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$ : un demi-tour, puis $\dfrac{\pi}{6}$. Le point est en bas à gauche, les deux signes sont négatifs. Donc $\cos\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac12$.

Exemple 17. Trois autres lectures.

• $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$ : en haut à gauche, $\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac12$.
• $-\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} - \pi$ : en bas à gauche, $\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt2}{2}$.
• $\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 4\pi$ : même point que $\dfrac{\pi}{3}$, $\cos\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac12$ et $\sin\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

6.5 Une dernière symétrie

La symétrie par rapport à la droite d'équation $y = x$ échange l'abscisse et l'ordonnée. Le symétrique de l'image de $x$ est l'image de $\dfrac{\pi}{2} - x$. Pour tout réel $x$ : $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x \qquad\text{et}\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x.$

Comme $\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}$, les valeurs de $\dfrac{\pi}{6}$ et de $\dfrac{\pi}{3}$ s'échangent dans le tableau.

Leçon 7 : Approximation de π par la méthode d'Archimède, en Python

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 L'idée d'Archimède

Le nombre $\pi$ est le demi-périmètre du cercle trigonométrique. Archimède enferme le cercle entre deux polygones réguliers à $n$ côtés, l'un à l'intérieur, l'autre à l'extérieur. Leurs demi-périmètres encadrent $\pi$ : on admet que le polygone intérieur est plus court que le cercle, et le polygone extérieur plus long.

Exemple 18 (deux hexagones). L'hexagone régulier intérieur est fait de six triangles équilatéraux : son côté vaut $1$ et son demi-périmètre vaut $3$. L'hexagone extérieur en est un agrandissement, de rapport $\dfrac{1}{\cos\frac{\pi}{6}} = \dfrac{2}{\sqrt3}$. Son demi-périmètre vaut $3 \times \dfrac{2}{\sqrt3} = 2\sqrt3 \approx 3{,}46$. Ainsi, $3 < \pi < 3{,}47$.

7.2 Doubler le nombre de côtés

Soit $c$ le côté d'un polygone intérieur, $A$ et $B$ deux sommets voisins, $H$ le milieu de $[AB]$ et $M$ le milieu de l'arc $AB$.

• Dans le triangle $OHA$, rectangle en $H$ : $OH^2 = 1 - \dfrac{c^2}{4}$, donc $OH = \sqrt{1 - \dfrac{c^2}{4}}$.
• On a $HM = 1 - OH$.
• Le nouveau côté est $AM$. Dans le triangle $AHM$, rectangle en $H$ : $AM^2 = \frac{c^2}{4} + (1 - OH)^2 = \frac{c^2}{4} + 1 - 2\,OH + OH^2 = 2 - 2\,OH.$

Comme $2\,OH = \sqrt{4 - c^2}$, le polygone à $2n$ côtés a pour côté $\sqrt{2 - \sqrt{4 - c^2}}.$

7.3 Le polygone extérieur

Le côté du polygone extérieur touche le cercle en $M$ et il est parallèle à $(AB)$. D'après le théorème de Thalès, le polygone extérieur est un agrandissement du polygone intérieur, de rapport $\dfrac{OM}{OH} = \dfrac{1}{OH}$. Si l'on note bas et haut les deux demi-périmètres : $\text{bas} = \frac{n \times c}{2}, \qquad \text{haut} = \frac{\text{bas}}{OH}.$

7.4 Le programme

La fonction encadrement reçoit le nombre k de doublements et renvoie la liste [bas, haut].

from math import sqrt

def encadrement(k):
    n = 6
    c = 1
    for i in range(k):
        c = sqrt(2 - sqrt(4 - c**2))
        n = 2 * n
    bas = n * c / 2
    haut = bas / sqrt(1 - c**2 / 4)
    return [bas, haut]

En langage naturel, la boucle s'écrit : $c \leftarrow \sqrt{2 - \sqrt{4 - c^2}}$, puis $n \leftarrow 2 \times n$. Le programme n'utilise que des racines carrées : il n'a pas besoin de connaitre $\pi$.

7.5 Les résultats

Avec $96$ côtés, le dernier polygone calculé par Archimède, on obtient $3{,}1410 < \pi < 3{,}1428$. À chaque doublement, l'écart entre les deux bornes est divisé par environ $4$.

7.6 Les limites de la machine

Avec dix doublements, encadrement(10) donne six décimales exactes de $\pi$ : $3{,}141592$. Mais encadrement(25) renvoie deux nombres proches de $3{,}354$, ce qui est faux. Quand le côté devient minuscule, le calcul de $2 - \sqrt{4 - c^2}$ soustrait deux nombres presque égaux, et les arrondis font perdre la précision. La méthode reste juste : c'est le calcul approché qui a ses limites.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. Triangle rectangle : $\cos\alpha = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\sin\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, $\tan\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.
2. Cercle trigonométrique : centre $O$, rayon $1$, sens direct, périmètre $2\pi$.
3. Radian : $\pi$ radians $= 180^\circ$. Sur un cercle de rayon $R$, un arc mesure $\ell = R \times \alpha$, avec $\alpha$ en radians.
4. Image d'un réel : $x$ et $x + 2\pi$ ont la même image. On retire les tours entiers, puis on lit le réel comme une fraction de $\pi$.
5. Définition : si $M$ est l'image de $x$, alors $M(\cos x\,;\sin x)$. Le cosinus et le sinus sont compris entre $-1$ et $1$, et $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
6. Démonstrations à connaître : $\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (triangle isocèle et Pythagore), $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12$ et $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ (triangle équilatéral).
7. Angles associés : $-x$ (même cosinus, sinus opposé), $\pi - x$ (même sinus, cosinus opposé), $\pi + x$ (tout est opposé).
8. Python : les demi-périmètres de deux polygones encadrent $\pi$ ; avec $96$ côtés, $3{,}1410 < \pi < 3{,}1428$.

Rituel d'automatismes

Douze questions à réponses courtes, sans calculatrice, à faire en dix minutes environ : six sur ce chapitre, six sur des automatismes déjà travaillés. C'est le format de la première partie de l'épreuve anticipée. Télécharger le rituel du chapitre 8 (PDF, avec son corrigé).