Variables aléatoires réelles

1. Question 1 sur 20Une variable aléatoire réelle est

   A une issue de l'expérience B un sous-ensemble de l'univers C une probabilité D une fonction définie sur l'univers, à valeurs réelles

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   Réponse D. À chaque issue, elle associe un nombre réel.

2. Question 2 sur 20On lance deux pièces, et $X$ est le nombre de « pile ». Les valeurs prises par $X$ sont

   A $0$ , $1$ et $2$ B $1$ et $2$ C $PP$ , $PF$ , $FP$ et $FF$ D $0$ , $1$ , $2$ , $3$ et $4$

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   Réponse A. On peut obtenir zéro, un ou deux « pile ». La réponse C donne les issues, pas les valeurs.

3. Question 3 sur 20La phrase « $X$ vaut au plus $3$ » s'écrit

   A $X > 3$ B $X \geq 3$ C $X \leq 3$ D $X < 3$

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   Réponse C. « Au plus » contient la valeur $3$ et tout ce qui est en dessous.

4. Question 4 sur 20$X$ prend les valeurs $1$ , $2$ et $3$ avec les probabilités $0{,}5$ , $0{,}3$ et $0{,}2$ . Alors $P(X \geq 2)$ vaut

   A $0{,}3$ B $0{,}5$ C $0{,}2$ D $0{,}8$

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   Réponse B. $P(X \geq 2) = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5$ .

5. Question 5 sur 20Le contraire de l'évènement $\{X \leq 4\}$ est

   A $\{X \geq 4\}$ B $\{X = 4\}$ C $\{X < 4\}$ D $\{X > 4\}$

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   Réponse D. Le contraire de « au plus $4$ » est « plus de $4$ ». La réponse A contiendrait la valeur $4$ , qui est déjà dans l'évènement.

6. Question 6 sur 20$X$ vaut $0$ avec la probabilité $0{,}7$ et $10$ avec la probabilité $0{,}3$ . Alors $E(X)$ vaut

   A $5$ B $7$ C $3$ D $0{,}3$

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   Réponse C. $E(X) = 0{,}7 \times 0 + 0{,}3 \times 10 = 3$ .

7. Question 7 sur 20On tire au sort un individu dans une population, avec équiprobabilité, et $X$ est la valeur d'un caractère. Alors $E(X)$ est

   A la moyenne de ce caractère dans la population B la médiane C la plus grande valeur D l'effectif de la population

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   Réponse A. Les probabilités sont les proportions : c'est le calcul de la moyenne.

8. Question 8 sur 20On lance un dé équilibré à quatre faces, et $E(X) = 2{,}5$ . Quelle phrase est juste ?

   A Le dé donne souvent $2{,}5$ B Sur un très grand nombre de lancers, la moyenne des résultats est proche de $2{,}5$ C $P(X = 2{,}5) = 1$ D La moitié des lancers donne $2{,}5$

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   Réponse B. L'espérance est une valeur moyenne. Ici, ce n'est pas une valeur prise par $X$ .

9. Question 9 sur 20$X$ vaut $1$ ou $3$ , avec la probabilité $\dfrac12$ pour chaque valeur. Alors $V(X)$ vaut

   A $0$ B $2$ C $1$ D $4$

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   Réponse C. $E(X) = 2$ , et chaque écart a pour carré $1$ .

10. Question 10 sur 20Si $V(X) = 25$ , alors $\sigma(X)$ vaut

    A $12{,}5$ B $5$ C $625$ D $25$

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    Réponse B. L'écart type est la racine carrée de la variance.

11. Question 11 sur 20Si $E(X) = 6$ , alors $E(3X - 2)$ vaut

    A $18$ B $4$ C $22$ D $16$

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    Réponse D. $E(3X - 2) = 3 \times 6 - 2 = 16$ .

12. Question 12 sur 20On sait que $E(X) = 4$ et $E(Y) = -1$ , pour deux variables définies sur le même univers. Alors $E(X + Y)$

    A vaut $3$ B vaut $5$ C vaut $-4$ D ne peut pas être calculée si on ne sait pas que les variables sont indépendantes

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    Réponse A. $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ pour toutes variables, indépendantes ou non.

13. Question 13 sur 20Si $E(X) = 3$ et $E(X^2) = 13$ , alors $V(X)$ vaut

    A $10$ B $4$ C $7$ D $16$

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    Réponse B. $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 13 - 9 = 4$ .

14. Question 14 sur 20$X$ vaut $-1$ ou $1$ , avec la probabilité $\dfrac12$ pour chaque valeur. Alors $E(X^2)$ vaut

    A $0$ B $\dfrac12$ C $2$ D $1$

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    Réponse D. $X^2$ vaut toujours $1$ . Alors que $E(X)^2 = 0$ : les deux ne sont pas égales.

15. Question 15 sur 20Un jeu rapporte une somme $X$ avec $E(X) = 2{,}5$ euros, pour une mise de $3$ euros. L'espérance du gain net vaut

    A $-0{,}5$ B $0{,}5$ C $5{,}5$ D $0$

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    Réponse A. $E(G) = 2{,}5 - 3 = -0{,}5$ : le jeu est défavorable au joueur.

16. Question 16 sur 20Un jeu rapporte $12$ euros avec la probabilité $0{,}25$ , et rien sinon. La mise qui le rend équitable vaut

    A $12$ euros B $6$ euros C $3$ euros D $0{,}25$ euro

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    Réponse C. La mise équitable est $E(X) = 0{,}25 \times 12 = 3$ .

17. Question 17 sur 20Dans s = s + probas[i] * valeurs[i] , répété pour tous les indices, à partir de s = 0 , la variable s calcule

    A la variance B l'espérance C l'écart type D la somme des valeurs

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    Réponse B. C'est la somme des produits $p_i x_i$ .

18. Question 18 sur 20Avec valeurs = [1, 3] et probas = [0.5, 0.5] , la fonction esperance du cours renvoie

    A 4.0 B 1.0 C 2.0 D 0.5

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    Réponse C. $0{,}5 \times 1 + 0{,}5 \times 3 = 2$ .

19. Question 19 sur 20Dans un texte de $200$ lettres, la lettre « e » apparaît $30$ fois. On tire une lettre au hasard. La probabilité d'obtenir « e » vaut

    A $0{,}3$ B $0{,}06$ C $30$ D $0{,}15$

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    Réponse D. $\dfrac{30}{200} = 0{,}15$ : la probabilité est la fréquence de la lettre.

20. Question 20 sur 20La fonction nb_occurrences du cours, appelée avec "a" et "banane" , renvoie

    A $1$ B $2$ C $3$ D $6$

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    Réponse B. Le mot contient deux « a ».

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.