Devoir sur 20 : Variations et courbes représentatives des fonctions

Devoir d'une heure, noté sur 20 points, sans calculatrice, construit comme l'épreuve anticipée : 6 points d'automatismes, 12 points d'exercices, 2 points de maîtrise de la langue. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Partie 1 : automatismes (6 points)

Réponses courtes, sans justification. Chaque question vaut 1 point.

Soit $f(x) = x^3 - 12x$ . Donner $f'(x)$ .
La fonction $g$ est paire, et $g(3) = 5$ . Donner $g(-3)$ .
La fonction $k$ est impaire, et $k(2) = -4$ . Donner $k(-2)$ .
On a $f'(x) = 2(x - 1)(x + 3)$ . Donner le signe de $f'(x)$ sur $]{-3}\,;1[$ .
Donner le maximum de $x \mapsto -x^2 + 4x + 1$ .
Sur $[-1\,;5]$ , une fonction décroît de $3$ à $-1$ , puis croît de $-1$ à $4$ . Donner son maximum sur cet intervalle.

Exercice 1 (7 points)

Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ sur $[0\,;5]$ .

Calculer $f'(x)$ , et montrer que $f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)$ . (1 point)
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;5]$ , avec les images. (2 points)
Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[0\,;5]$ , et préciser où ils sont atteints. (1 point)
Montrer que la tangente $T$ au point d'abscisse $2$ a pour équation $y = -3x + 7$ . (1 point)
Vérifier que $f(x) - (-3x + 7) = (x - 2)^3$ , puis étudier la position de la courbe de $f$ par rapport à $T$ . (2 points)

Exercice 2 (5 points)

Un coffre de rangement sans couvercle a la forme d'un pavé droit à base carrée, de côté $x$ décimètres et de hauteur $h$ décimètres. Son volume vaut $32$ décimètres cubes. On veut utiliser le moins de bois possible.

Exprimer $h$ en fonction de $x$ . (0,5 point)
Montrer que la surface de bois, en décimètres carrés, vaut $S(x) = x^2 + \dfrac{128}{x}$ , pour $x > 0$ . (1 point)
Montrer que $S'(x) = \dfrac{2(x^3 - 64)}{x^2}$ . (1 point)
Justifier que $x^3 - 64$ a le signe de $x - 4$ , puis dresser le tableau de variations de $S$ . (1,5 point)
Quelles dimensions utilisent le moins de bois ? Quelle est alors la surface de bois ? (1 point)

Maîtrise de la langue (2 points)

La qualité de la rédaction est évaluée sur l'ensemble de la copie : orthographe, construction des phrases, vocabulaire mathématique, organisation du raisonnement.

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Partie 1 : automatismes

(1 pt) $f'(x) = 3x^2 - 12$ .
(1 pt) $g(-3) = g(3) = 5$ .
(1 pt) $k(-2) = -k(2) = 4$ .
(1 pt) Négatif : $a = 2 > 0$ et l'intervalle est entre les racines.
(1 pt) La dérivée $-2x + 4$ s'annule en $2$ , et $a < 0$ . Le maximum vaut $-4 + 8 + 1 = 5$ .
(1 pt) On compare $3$ et $4$ : le maximum vaut $4$ .

Exercice 1

1. (1 pt) $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3)$ . Les racines de $x^2 - 4x + 3$ sont $1$ et $3$ : leur somme vaut $4$ , et leur produit $3$ . Donc $f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)$ .

2. (2 pts) Comme $a = 3 > 0$ , $f'(x)$ est positif à l'extérieur des racines. On calcule $f(0) = -1$ , $f(1) = 3$ , $f(3) = -1$ et $f(5) = 19$ .

$x$	$0$		$1$		$3$		$5$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$-1$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$19$

3. (1 pt) Sur $[0\,;5]$ , le maximum de $f$ est $19$ , atteint en $5$ . Le minimum est $-1$ , atteint en $0$ et en $3$ .

4. (1 pt) $f(2) = 8 - 24 + 18 - 1 = 1$ et $f'(2) = 3 \times 1 \times (-1) = -3$ . La tangente a pour équation $y = 1 - 3(x - 2)$ , soit $y = -3x + 7$ .

5. (2 pts) $f(x) - (-3x + 7) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ , et $(x - 2)^3 = (x^2 - 4x + 4)(x - 2) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ . Un cube a le signe de son nombre : la différence a le signe de $x - 2$ . La courbe est au-dessous de $T$ sur $[0\,;2[$ , au-dessus sur $]2\,;5]$ , et elle traverse sa tangente au point d'abscisse $2$ .

Exercice 2

1. (0,5 pt) Le volume vaut $x^2h = 32$ , donc $h = \dfrac{32}{x^2}$ .

2. (1 pt) La surface comprend le fond, d'aire $x^2$ , et quatre côtés d'aire $xh$ chacun : $S(x) = x^2 + 4x \times \dfrac{32}{x^2} = x^2 + \dfrac{128}{x}$ .

3. (1 pt) $S'(x) = 2x - \dfrac{128}{x^2} = \dfrac{2x^3 - 128}{x^2} = \dfrac{2(x^3 - 64)}{x^2}$ .

4. (1,5 pt) La fonction cube est strictement croissante et $4^3 = 64$ . Donc $x^3 - 64 < 0$ pour $x < 4$ , et $x^3 - 64 > 0$ pour $x > 4$ : l'expression a le signe de $x - 4$ . Avec $S(4) = 16 + 32 = 48$ :

$x$	$0$		$4$		$+\infty$
$S'(x)$	$\Vert$	$-$	$0$	$+$
$S$	$\Vert$	$\searrow$	$48$	$\nearrow$

5. (1 pt) Le minimum est atteint pour $x = 4$ , et $h = \dfrac{32}{16} = 2$ . Le coffre doit avoir une base carrée de $4$ décimètres de côté et une hauteur de $2$ décimètres. La surface de bois vaut alors $48$ décimètres carrés.

Maîtrise de la langue

(2 pts) La note de service de l'épreuve anticipée (11 septembre 2026, NOR MENE2622640N) consacre deux points sur vingt « à la maîtrise des normes orthographiques et syntaxiques ainsi qu'à la capacité à formuler un raisonnement et à utiliser un vocabulaire juste et adapté ». Son annexe observe quatre dimensions : l'orthographe, la syntaxe et la construction des phrases, le lexique, la mise en forme et l'organisation de la réflexion.

Dans ce devoir, on attend par exemple : une phrase de conclusion à la dernière question de l'exercice 2, avec l'unité ; les mots justes (croissante, extrémum, tangente, au-dessus) ; des connecteurs qui montrent le raisonnement (donc, or, comme, on en déduit).