Devoir sur 20 : Calcul intégral · MathsPourLesLycéens

Devoir d'une heure, noté sur 20 points. Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (6 points)

Calculer les intégrales suivantes. Donner la valeur exacte.

$\displaystyle\int_1^2 \left(3x^2 - \dfrac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x$ (1 point)
$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{3x}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x$ (1 point)
$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \big(\cos x + \sin(2x)\big)\,\mathrm{d}x$ (1 point)
$\displaystyle\int_0^1 (x + 2)\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$ , par une intégration par parties (1,5 point)
$\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} x^2\ln x\,\mathrm{d}x$ , par une intégration par parties (1,5 point)

Exercice 2 (7 points)

Après un goûter, le taux de sucre dans le sang d'une personne, en grammes par litre, est modélisé par $g(t) = 1 + t\,\mathrm{e}^{-t}$ , où $t$ est le temps en heures, pour $t$ dans $[0\,;4]$ . Ce modèle est simplifié.

Montrer que $g'(t) = (1 - t)\,\mathrm{e}^{-t}$ . Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[0\,;4]$ . Quel est le taux maximal, arrondi au centième ? (2 points)
À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_0^4 t\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t = 1 - 5\,\mathrm{e}^{-4}$ . (2 points)
Calculer le taux moyen de sucre sur ces quatre heures. Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au centième. (1,5 point)
Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de $g$ et la droite d'équation $y = 1$ , sur $[0\,;4]$ . Donner la valeur arrondie au centième. (1 point)
Sur $[0\,;4]$ , le taux moyen est-il supérieur ou inférieur à $g(4)$ ? Interpréter. (0,5 point)

Exercice 3 (7 points)

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $\displaystyle K_n = \int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x^2}\,\mathrm{d}x$ .

Calculer $K_1$ . (1 point)
Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , $K_n + K_{n+2} = \dfrac{1}{n + 1}$ . En déduire $K_3$ . (2 points)
Montrer que la suite $(K_n)$ est décroissante. (1 point)
Montrer que $0 \leq K_n \leq \dfrac{1}{n + 1}$ pour tout entier naturel $n$ . En déduire la limite de la suite. (2 points)
Compléter ce programme, qui calcule $K_5$ à l'aide de la relation de la question 2. Donner la valeur affichée, arrondie au millième. (1 point)

from math import log

k = log(2) / 2
for n in [1, 3]:
    k = ...
print(k)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

$\left[x^3 + \dfrac1x\right]_1^2 = \left(8 + \dfrac12\right) - 2 = \dfrac{13}{2}$ . (1 point)
Forme $\dfrac32\,\dfrac{u'}{u}$ : $\left[\dfrac32\ln\left(x^2 + 1\right)\right]_0^1 = \dfrac32\ln 2$ . (1 point)
$\left[\sin x - \dfrac12\cos(2x)\right]_0^{\pi/2} = \left(1 + \dfrac12\right) - \left(0 - \dfrac12\right) = 2$ . (1 point)
$u(x) = x + 2$ , $v'(x) = \mathrm{e}^x$ : $\Big[(x + 2)\,\mathrm{e}^x\Big]_0^1 - \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = 3\,\mathrm{e} - 2 - (\mathrm{e} - 1) = 2\,\mathrm{e} - 1$ . (1,5 point)
$u(x) = \ln x$ , $v'(x) = x^2$ , $v(x) = \dfrac{x^3}{3}$ : $\left[\dfrac{x^3}{3}\ln x\right]_1^{\mathrm{e}} - \displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \dfrac{x^2}{3}\,\mathrm{d}x = \dfrac{\mathrm{e}^3}{3} - \dfrac{\mathrm{e}^3 - 1}{9} = \dfrac{2\,\mathrm{e}^3 + 1}{9}$ . (1,5 point)

Exercice 2

$g'(t) = \mathrm{e}^{-t} - t\,\mathrm{e}^{-t} = (1 - t)\,\mathrm{e}^{-t}$ . (0,5 point) $g'$ est positive sur $[0\,;1]$ , négative sur $[1\,;4]$ : $g$ croît de $1$ à $g(1)$ , puis décroît jusqu'à $g(4) = 1 + 4\,\mathrm{e}^{-4} \approx 1{,}07$ . (1 point) Le maximum vaut $1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}} \approx 1{,}37$ g/L, atteint au bout d'une heure. (0,5 point)
$u(t) = t$ , $v'(t) = \mathrm{e}^{-t}$ , $v(t) = -\mathrm{e}^{-t}$ : $\Big[-t\,\mathrm{e}^{-t}\Big]_0^4 + \displaystyle\int_0^4 \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t = -4\,\mathrm{e}^{-4} + 1 - \mathrm{e}^{-4} = 1 - 5\,\mathrm{e}^{-4}$ . (2 points)
$\mu = \dfrac14\displaystyle\int_0^4 g(t)\,\mathrm{d}t = \dfrac14\left(4 + 1 - 5\,\mathrm{e}^{-4}\right) = \dfrac{5 - 5\,\mathrm{e}^{-4}}{4} \approx 1{,}23$ g/L. (1,5 point)
$g \geq 1$ sur $[0\,;4]$ , donc l'aire vaut $\displaystyle\int_0^4 \big(g(t) - 1\big)\,\mathrm{d}t = 1 - 5\,\mathrm{e}^{-4} \approx 0{,}91$ u.a. (1 point)
$\mu \approx 1{,}23 > g(4) \approx 1{,}07$ : au bout de quatre heures, le taux est revenu sous sa moyenne de la période. (0,5 point)

Exercice 3

Forme $\dfrac12\,\dfrac{u'}{u}$ : $K_1 = \left[\dfrac12\ln\left(1 + x^2\right)\right]_0^1 = \dfrac12\ln 2$ . (1 point)
Par linéarité, $K_n + K_{n+2} = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n\left(1 + x^2\right)}{1 + x^2}\,\mathrm{d}x = \int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{n + 1}$ . (1 point) Pour $n = 1$ : $K_3 = \dfrac12 - K_1 = \dfrac12 - \dfrac12\ln 2$ . (1 point)
Sur $[0\,;1]$ , $x^{n+1} \leq x^n$ , donc $\dfrac{x^{n+1}}{1 + x^2} \leq \dfrac{x^n}{1 + x^2}$ . On intègre : $K_{n+1} \leq K_n$ . (1 point)
Sur $[0\,;1]$ , $1 + x^2 \geq 1$ , donc $0 \leq \dfrac{x^n}{1 + x^2} \leq x^n$ . On intègre : $0 \leq K_n \leq \dfrac{1}{n + 1}$ . (1 point) D'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n \to +\infty} K_n = 0$ . (1 point)
La ligne manquante est k = 1 / (n + 1) - k. Le programme calcule $K_3$ , puis $K_5 = \dfrac14 - K_3 = \dfrac12\ln 2 - \dfrac14 \approx 0{,}097$ . (1 point)