Devoir sur 20 : Dérivation et convexité

Devoir d'une heure, noté sur 20 points. Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (5 points)

Calculer la dérivée de chaque fonction sur l'intervalle indiqué. (1 point par fonction)
- a. $f(x) = \left(x^2 - 5\right)^4$ sur $\mathbb{R}$
- b. $g(x) = \sqrt{3x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$
- c. $h(x) = \mathrm{e}^{x^3 - x}$ sur $\mathbb{R}$
- d. $k(x) = \dfrac{1}{(2x + 1)^3}$ sur $\left]-\frac12\,;+\infty\right[$
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $x \mapsto \sqrt{x^2 - 2x - 3}$ . (1 point)

Exercice 2 (9 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x + 2)\,\mathrm{e}^{-x}$ , et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ . Interpréter graphiquement l'une d'elles. (1,5 point)
Montrer que $f'(x) = -(x + 1)\,\mathrm{e}^{-x}$ . (1 point)
Dresser le tableau de variations complet de $f$ . (1,5 point)
Montrer que $f''(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}$ . (1 point)
Étudier la convexité de $f$ . Montrer que $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion $I$ , dont on donnera les coordonnées. (1,5 point)
Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point $I$ . (1 point)
En déduire, sans nouveau calcul, que $(x + 2)\,\mathrm{e}^{-x} \geq 2 - x$ pour tout $x \geq 0$ . Que peut-on dire pour $x \leq 0$ ? (1,5 point)

Exercice 3 (6 points)

Soit $g$ la fonction définie sur $]-1\,;+\infty[$ par $g(x) = \sqrt{1 + x}$ .

Calculer $g'(x)$ , puis montrer que $g''(x) = -\dfrac{1}{4(1 + x)\sqrt{1 + x}}$ . En déduire la convexité de $g$ . (2 points)
Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $0$ . En déduire que, pour tout $x > -1$ , $\sqrt{1 + x} \leq 1 + \dfrac{x}{2}$ . (1,5 point)
Déterminer une équation de la sécante à la courbe de $g$ passant par les points d'abscisses $0$ et $1$ . En déduire que, pour tout $x$ de $[0\,;1]$ , $\sqrt{1 + x} \geq 1 + \left(\sqrt2 - 1\right)x$ . (1,5 point)
En déduire un encadrement de $\sqrt{1{,}02}$ ; donner la borne inférieure arrondie au cent-millième. (1 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1.a. (1 pt) $u(x) = x^2 - 5$ , $u'(x) = 2x$ : $f'(x) = 4 \times 2x \times \left(x^2 - 5\right)^3 = 8x\left(x^2 - 5\right)^3$ .

1.b. (1 pt) $u(x) = 3x^2 + 1 > 0$ , $u'(x) = 6x$ : $g'(x) = \dfrac{6x}{2\sqrt{3x^2 + 1}} = \dfrac{3x}{\sqrt{3x^2 + 1}}$ .

1.c. (1 pt) $u(x) = x^3 - x$ , $u'(x) = 3x^2 - 1$ : $h'(x) = \left(3x^2 - 1\right)\mathrm{e}^{x^3 - x}$ .

1.d. (1 pt) $k(x) = (2x + 1)^{-3}$ : $k'(x) = -3 \times 2 \times (2x + 1)^{-4} = -\dfrac{6}{(2x + 1)^4}$ .

2. (1 pt) $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$ , positif ou nul à l'extérieur des racines : l'ensemble de définition est $]-\infty\,;-1] \cup [3\,;+\infty[$ .

Exercice 2

1. (1,5 pt) En $-\infty$ : $x + 2 \to -\infty$ et $\mathrm{e}^{-x} \to +\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$ . En $+\infty$ : $f(x) = \dfrac{x}{\mathrm{e}^x} + 2\,\mathrm{e}^{-x}$ ; par croissance comparée $\dfrac{x}{\mathrm{e}^x} \to 0$ , et $\mathrm{e}^{-x} \to 0$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ en $+\infty$ .

2. (1 pt) Produit : $f'(x) = \mathrm{e}^{-x} + (x + 2)\left(-\mathrm{e}^{-x}\right) = (1 - x - 2)\,\mathrm{e}^{-x} = -(x + 1)\,\mathrm{e}^{-x}$ .

3. (1,5 pt) $\mathrm{e}^{-x} > 0$ , donc $f'(x)$ a le signe de $-(x + 1)$ : positif si $x < -1$ , négatif si $x > -1$ . Le maximum vaut $f(-1) = 1 \times \mathrm{e}^{1} = \mathrm{e}$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f$	$-\infty$	croissante	$\mathrm{e}$	décroissante	$0$

4. (1 pt) $f''(x) = -\mathrm{e}^{-x} - (x + 1)\left(-\mathrm{e}^{-x}\right) = (-1 + x + 1)\,\mathrm{e}^{-x} = x\,\mathrm{e}^{-x}$ .

5. (1,5 pt) $f''(x)$ a le signe de $x$ : $f$ est concave sur $]-\infty\,;0]$ et convexe sur $[0\,;+\infty[$ . $f''$ s'annule en $0$ en changeant de signe : $\mathcal{C}$ a un point d'inflexion $I(0\,;2)$ , car $f(0) = 2$ .

6. (1 pt) $f(0) = 2$ et $f'(0) = -1$ : $T$ a pour équation $y = 2 - x$ .

7. (1,5 pt) Sur $[0\,;+\infty[$ , $f$ est convexe : $\mathcal{C}$ est au-dessus de ses tangentes, en particulier de $T$ . Donc $(x + 2)\,\mathrm{e}^{-x} \geq 2 - x$ pour tout $x \geq 0$ . Sur $]-\infty\,;0]$ , $f$ est concave : $\mathcal{C}$ est en dessous de $T$ , donc $(x + 2)\,\mathrm{e}^{-x} \leq 2 - x$ pour tout $x \leq 0$ . La courbe traverse sa tangente en $I$ .

Exercice 3

1. (2 pts) $g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{1 + x}}$ . Avec $\left(\dfrac1u\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$ et $u(x) = \sqrt{1 + x}$ : $g''(x) = \dfrac12 \times \left(-\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{1 + x}}}{1 + x}\right) = -\dfrac{1}{4(1 + x)\sqrt{1 + x}}$ . Pour $x > -1$ , $g''(x) < 0$ : $g$ est concave sur $]-1\,;+\infty[$ .

2. (1,5 pt) $g(0) = 1$ et $g'(0) = \dfrac12$ : la tangente a pour équation $y = 1 + \dfrac{x}{2}$ . Une fonction concave est en dessous de ses tangentes : $\sqrt{1 + x} \leq 1 + \dfrac{x}{2}$ pour tout $x > -1$ .

3. (1,5 pt) $g(0) = 1$ et $g(1) = \sqrt2$ : la sécante a pour pente $\sqrt2 - 1$ et pour équation $y = 1 + \left(\sqrt2 - 1\right)x$ . Une fonction concave est au-dessus de ses sécantes entre les deux points : $\sqrt{1 + x} \geq 1 + \left(\sqrt2 - 1\right)x$ sur $[0\,;1]$ .

4. (1 pt) Avec $x = 0{,}02$ : $1 + 0{,}02\left(\sqrt2 - 1\right) \leq \sqrt{1{,}02} \leq 1{,}01$ , soit $1{,}00828 \leq \sqrt{1{,}02} \leq 1{,}01$ (la borne inférieure vaut environ $1{,}008\,28$ ). La calculatrice donne $\sqrt{1{,}02} \approx 1{,}00995$ .