Devoir sur 20 : Limites de fonctions

Exercice 1

1. (1 pt) Forme $\frac{\infty}{\infty}$. Pour $x \neq 0$ : $\dfrac{4x^3 - 2x + 7}{1 - 2x^3} = \dfrac{4 - \frac{2}{x^2} + \frac{7}{x^3}}{\frac{1}{x^3} - 2} \to \dfrac{4}{-2}$. La limite vaut $-2$.

2. (1 pt) $x + 1 \to 3$ et $2 - x \to 0$ ; pour $x > 2$, $2 - x < 0$. Forme $\frac{3}{0^-}$ : la limite vaut $-\infty$.

3. (1 pt) $X = \dfrac{2x}{x + 1} = \dfrac{2}{1 + \frac1x} \to 2$, et $\mathrm{e}^X \to \mathrm{e}^2$ quand $X \to 2$. La limite vaut $\mathrm{e}^2$.

4. (1 pt) $-1 \leq \cos x \leq 1$, donc $2 \leq 3 - \cos x \leq 4$ et, pour $x > 0$, $\dfrac2x \leq \dfrac{3 - \cos x}{x} \leq \dfrac4x$. Les bornes tendent vers $0$ : théorème des gendarmes, la limite vaut $0$.

5. (1 pt) $x^3\,\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{x^3}{\mathrm{e}^x} \to 0$ par croissance comparée. La limite vaut $0$.

6. (1 pt) Forme $\infty - \infty$. On factorise par le terme prépondérant $\mathrm{e}^{2x}$ : $\mathrm{e}^{2x} - x\,\mathrm{e}^x = \mathrm{e}^{2x}\left(1 - x\,\mathrm{e}^{-x}\right)$. Par croissance comparée, $x\,\mathrm{e}^{-x} \to 0$, la parenthèse tend vers $1$ et $\mathrm{e}^{2x} \to +\infty$. La limite vaut $+\infty$.

Exercice 2

1. (1,5 pt)

• (0,5 pt) $g(x) = \mathrm{e}^x - x - 1$, $g'(x) = \mathrm{e}^x - 1$.
• (0,5 pt) $g'(x) < 0$ si $x < 0$, $g'(x) > 0$ si $x > 0$ : $g$ est décroissante puis croissante.
• (0,5 pt) Le minimum est $g(0) = 0$, donc $g(x) \geq 0$, soit $\mathrm{e}^x \geq x + 1$.

2. (1,5 pt)

• (0,5 pt) $h'(x) = \mathrm{e}^x - x$.
• (0,5 pt) D'après la question 1, $\mathrm{e}^x \geq x + 1 > x$, donc $h'(x) > 0$ : $h$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.
• (0,5 pt) Pour $x \geq 0$, $h(x) \geq h(0) = 1 > 0$, donc $\mathrm{e}^x > \dfrac{x^2}{2}$.

3. (1 pt) Pour $x > 0$ : $\dfrac{\mathrm{e}^x}{x} > \dfrac{x}{2}$, et $\dfrac{x}{2} \to +\infty$. Par comparaison, $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\mathrm{e}^x}{x} = +\infty$.

4. (1 pt) $x\,\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{x}{\mathrm{e}^x} = \dfrac{1}{\;\frac{\mathrm{e}^x}{x}\;}$, quotient de $1$ par une quantité qui tend vers $+\infty$ : $\lim\limits_{x\to+\infty} x\,\mathrm{e}^{-x} = 0$.

Exercice 3

1. (1 pt) $N(0) = \dfrac{12}{1 + 3} = 3$ millions ; $\;N(4) = \dfrac{12}{1 + 3\,\mathrm{e}^{-2}} \approx 8{,}53$ millions.

2. (2 pts)

• (1 pt) Quand $t \to +\infty$, $-0{,}5t \to -\infty$, donc $\mathrm{e}^{-0{,}5t} \to 0$ (composition), $1 + 3\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} \to 1$, et $\lim\limits_{t\to+\infty} N(t) = 12$.
• (0,5 pt) À long terme, la culture se stabilise vers $12$ millions de cellules.
• (0,5 pt) La droite d'équation $y = 12$ est asymptote horizontale à la courbe de $N$ en $+\infty$.

3. (1 pt) $3\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} > 0$, donc $1 + 3\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} > 1$ et $N(t) = \dfrac{12}{1 + 3\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}} < 12$. (La courbe est au-dessous de son asymptote.)

4. (2 pts)

• (1 pt) $N = \dfrac{12}{v}$ avec $v(t) = 1 + 3\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ et $v'(t) = -1{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$. Donc $N'(t) = -\dfrac{12\,v'(t)}{v(t)^2} = \dfrac{18\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}}{\left(1 + 3\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\right)^2}$.
• (1 pt) $N'(t) > 0$ : $N$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.

5. (1,5 pt)

• (1 pt) $N(6) = \dfrac{12}{1 + 3\,\mathrm{e}^{-3}} \approx 10{,}44 < 11$ et $N(7) = \dfrac{12}{1 + 3\,\mathrm{e}^{-3{,}5}} \approx 11{,}003 > 11$.
• (0,5 pt) $N$ est croissante : la culture dépasse $11$ millions de cellules au bout de $7$ heures.

6. (1,5 pt)

• (1 pt) Quand $x \to -\infty$, $-0{,}5x \to +\infty$, donc $\mathrm{e}^{-0{,}5x} \to +\infty$ et $1 + 3\,\mathrm{e}^{-0{,}5x} \to +\infty$. Par quotient, $\lim\limits_{x\to-\infty} g(x) = 0$.
• (0,5 pt) Asymptotes horizontales : $y = 0$ en $-\infty$ et $y = 12$ en $+\infty$.