Limites de fonctions

1. Question 1 sur 20Dire que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ signifie que

   A $f(x) = \ell$ pour $x$ assez grand B tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand C $f(x) < \ell$ pour tout $x$ D $f$ est croissante et majorée par $\ell$

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   Réponse B. C'est la définition du cours. La réponse A est trop forte : $4 + \frac{300}{x}$ tend vers $4$ sans jamais valoir $4$ .

2. Question 2 sur 20$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(5 - \frac{2}{x}\right) =$

   A $5$ B $3$ C $+\infty$ D $0$

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   Réponse A. $\dfrac{2}{x}$ tend vers $0$ , donc $5 - \dfrac2x$ tend vers $5$ . La droite $y = 5$ est asymptote horizontale.

3. Question 3 sur 20La courbe d'une fonction $f$ admet la droite d'équation $y = -1$ pour asymptote horizontale en $-\infty$ . Alors

   A $\displaystyle\lim_{x\to-1} f(x) = -\infty$ B $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$ C $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) = -1$ D $f(-1) = 0$

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   Réponse C. Une asymptote horizontale $y = \ell$ en $-\infty$ traduit exactement $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = \ell$ .

4. Question 4 sur 20$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{1}{x^2} =$

   A $0$ B $+\infty$ C $-\infty$ D elle n'existe pas

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   Réponse B. $\dfrac{1}{x^2}$ est positif et devient aussi grand qu'on veut quand $x$ s'approche de $0$ , d'un côté comme de l'autre.

5. Question 5 sur 20$\displaystyle\lim_{x\to0^-} \frac{1}{x} =$

   A $+\infty$ B $0$ C $-\infty$ D $1$

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   Réponse C. Pour $x$ négatif proche de $0$ , $\dfrac1x$ est négatif et très grand en valeur absolue.

6. Question 6 sur 20Si $\displaystyle\lim_{x\to2^+} f(x) = +\infty$ , alors la courbe de $f$ admet

   A l'asymptote horizontale $y = 2$ B l'asymptote verticale $x = 2$ C l'asymptote horizontale $y = 0$ D aucune asymptote

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   Réponse B. Une limite infinie en $2$ , même d'un seul côté, donne l'asymptote verticale d'équation $x = 2$ .

7. Question 7 sur 20$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x^3 =$

   A $+\infty$ B $0$ C $-\infty$ D $3$

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   Réponse C. $3$ est impair : $x^3$ a le signe de $x$ , et $x^3 \to -\infty$ en $-\infty$ .

8. Question 8 sur 20$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \mathrm{e}^x =$

   A $0$ B $-\infty$ C $1$ D $+\infty$

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   Réponse A. L'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe de l'exponentielle en $-\infty$ .

9. Question 9 sur 20Dans la démonstration de $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$ vue dans le cours, on utilise

   A la suite géométrique $(\mathrm{e}^n)$ et la croissance de l'exponentielle B la dérivée de l'exponentielle seulement C le théorème des gendarmes D la croissance comparée

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   Réponse A. $(\mathrm{e}^n)$ est géométrique de raison $\mathrm{e} > 1$ , donc tend vers $+\infty$ ; la croissance de l'exponentielle permet de passer des entiers $n$ aux réels $x$ .

10. Question 10 sur 20Laquelle de ces formes n'est pas indéterminée ?

    A $\infty - \infty$ B $\dfrac{\infty}{\infty}$ C $0 \times \infty$ D $\infty + \infty$

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    Réponse D. $+\infty + (+\infty)$ donne $+\infty$ . Les trois autres sont des formes indéterminées.

11. Question 11 sur 20$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{3x^2 - x}{1 - x^2} =$

    A $3$ B $-3$ C $0$ D $-\infty$

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    Réponse B. On factorise par $x^2$ : $\dfrac{3 - \frac1x}{\frac{1}{x^2} - 1} \to \dfrac{3}{-1} = -3$ .

12. Question 12 sur 20$\displaystyle\lim_{x\to3^+} \frac{2x + 1}{x - 3} =$

    A $-\infty$ B $2$ C $7$ D $+\infty$

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    Réponse D. Le numérateur tend vers $7$ et le dénominateur vers $0$ en restant positif : forme $\frac{7}{0^+}$ .

13. Question 13 sur 20$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} =$

    A $0$ B $1$ C $+\infty$ D $-\infty$

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    Réponse A. On pose $X = -x^2$ , qui tend vers $-\infty$ , et $\mathrm{e}^X \to 0$ .

14. Question 14 sur 20$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \mathrm{e}^{1/x} =$

    A $0$ B $+\infty$ C $1$ D $\mathrm{e}$

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    Réponse C. $\dfrac1x \to 0$ et $\mathrm{e}^X \to \mathrm{e}^0 = 1$ quand $X \to 0$ .

15. Question 15 sur 20$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(x + \cos x\right) =$

    A elle n'existe pas B $+\infty$ C $1$ D $0$

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    Réponse B. $x + \cos x \geq x - 1$ et $x - 1 \to +\infty$ : on conclut par comparaison.

16. Question 16 sur 20$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\sin x}{x} =$

    A $1$ B elle n'existe pas C $0$ D $+\infty$

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    Réponse C. Pour $x > 0$ , $-\dfrac1x \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac1x$ , et les deux bornes tendent vers $0$ : théorème des gendarmes.

17. Question 17 sur 20Pour tout réel $x$ ,

    A $\mathrm{e}^x \geq x + 1$ B $\mathrm{e}^x \leq x + 1$ C $\mathrm{e}^x \geq x + 2$ D $\mathrm{e}^x \geq x^2$

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    Réponse A. On l'a démontré en étudiant $g(x) = \mathrm{e}^x - x - 1$ , dont le minimum vaut $g(0) = 0$ . La réponse D est fausse : pour $x = -1$ , $\mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}37 < 1$ .

18. Question 18 sur 20$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x^5} =$

    A $0$ B $1$ C $5$ D $+\infty$

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    Réponse D. Croissance comparée : en $+\infty$ , l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ .

19. Question 19 sur 20$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x\,\mathrm{e}^x =$

    A $-\infty$ B $0$ C $1$ D on ne peut pas conclure

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    Réponse B. C'est une forme $0 \times \infty$ , mais la croissance comparée en $-\infty$ donne $0$ .

20. Question 20 sur 20$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(\mathrm{e}^x - x^3\right) =$

    A $-\infty$ B $0$ C $+\infty$ D $1$

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    Réponse C. $\mathrm{e}^x - x^3 = \mathrm{e}^x\left(1 - \dfrac{x^3}{\mathrm{e}^x}\right)$ ; la parenthèse tend vers $1$ par croissance comparée.

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.