Devoir sur 20 : Limites de suites

Exercice 1

1. (1 pt) Forme $\frac{\infty}{\infty}$. $a_n = \dfrac{n^2\left(2 - \frac{3}{n^2}\right)}{n^2\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)} = \dfrac{2 - \frac{3}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}} \to 2$. $\lim a_n = 2$.

2. (1 pt) Forme $\infty - \infty$. $b_n = n\left(\dfrac{1}{\sqrt n} - 1\right)$ ; la parenthèse tend vers $-1$ et $n \to +\infty$. $\lim b_n = -\infty$.

3. (1 pt) $-1 < 0{,}8 < 1$, donc $0{,}8^n \to 0$. $\lim c_n = 4$.

4. (1 pt) Forme $\infty - \infty$. $d_n = 5^n\left(\left(\frac25\right)^n - 1\right)$ ; la parenthèse tend vers $-1$ et $5^n \to +\infty$. $\lim d_n = -\infty$.

5. (1 pt) $3 - \dfrac{1}{n^2} \leq e_n \leq 3 + \dfrac{1}{n^2}$ et les deux bornes tendent vers $3$. Théorème des gendarmes : $\lim e_n = 3$.

6. (1 pt) $\sin n \leq 1$, donc $f_n \geq n - 2$, et $n - 2 \to +\infty$. Par comparaison : $\lim f_n = +\infty$.

Exercice 2

1. (2 pts)

• (0,5 pt) On pose $a = q - 1 > 0$, de sorte que $q = 1 + a$.
• (0,5 pt) Bernoulli : $q^n = (1 + a)^n \geq 1 + na$.
• (0,5 pt) $a > 0$, donc $1 + na \to +\infty$.
• (0,5 pt) Par comparaison, $q^n \to +\infty$.

2. (1 pt) Si $0 < q < 1$, alors $\dfrac1q > 1$, donc $\left(\dfrac1q\right)^n \to +\infty$ d'après la question 1. Par quotient, $q^n = \dfrac{1}{\left(\frac1q\right)^n} \to 0$.

3.a (0,5 pt) $1{,}2 > 1$, donc $1{,}2^n \to +\infty$ et, par produit par $50 > 0$, $\lim u_n = +\infty$.

3.b (1,5 pt)

def seuil():
    n = 0
    u = 50
    while u <= 1000:
        u = 1.2 * u
        n = n + 1
    return n

• (0,5 pt) Programme correct.
• (0,5 pt) La fonction renvoie $17$ : $50 \times 1{,}2^{16} \approx 924{,}4$ et $50 \times 1{,}2^{17} \approx 1109{,}3$.
• (0,5 pt) La boucle s'arrête car $u_n \to +\infty$ : l'intervalle $]1000\,;+\infty[$ contient tous les termes à partir d'un certain rang.

Exercice 3

1. (1 pt) $u_1 = 0{,}8 \times 2000 + 1000 = 2600$ ; $\;u_2 = 0{,}8 \times 2600 + 1000 = 3080$.

2. (2 pts) Soit $P(n)$ : « $u_n \leq u_{n+1} \leq 5000$ ».

• (0,5 pt) Initialisation : $u_0 = 2000 \leq u_1 = 2600 \leq 5000$.
• (1 pt) Hérédité : si $u_n \leq u_{n+1} \leq 5000$, on multiplie par $0{,}8 > 0$ et on ajoute $1000$ : $0{,}8\,u_n + 1000 \leq 0{,}8\,u_{n+1} + 1000 \leq 0{,}8 \times 5000 + 1000$, soit $u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 5000$.
• (0,5 pt) Conclusion : pour tout $n$, $u_n \leq u_{n+1} \leq 5000$.

3. (1 pt) $(u_n)$ est croissante et majorée par $5000$ : elle converge (théorème de convergence monotone).

4. (1,5 pt) $v_{n+1} = u_{n+1} - 5000 = 0{,}8\,u_n + 1000 - 5000 = 0{,}8\,u_n - 4000 = 0{,}8\,(u_n - 5000) = 0{,}8\,v_n$. $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$, de premier terme $v_0 = 2000 - 5000 = -3000$.

5. (1,5 pt)

• (0,5 pt) $v_n = -3000 \times 0{,}8^n$, donc $u_n = 5000 - 3000 \times 0{,}8^n$.
• (0,5 pt) $-1 < 0{,}8 < 1$, donc $0{,}8^n \to 0$ et $\lim u_n = 5000$.
• (0,5 pt) À long terme, le nombre d'oiseaux se stabilise autour de $5000$ (sans dépasser cette valeur).

6. (2 pts)

• (0,5 pt) $u_n > 4900 \iff 3000 \times 0{,}8^n < 100 \iff 0{,}8^n < \dfrac{1}{30}$.
• (1 pt) Algorithme de seuil (boucle while u <= 4900 avec u = 0.8 * u + 1000) : il renvoie $16$. Contrôle : $u_{15} \approx 4894$ et $u_{16} \approx 4916$.
• (0,5 pt) La réserve accueille plus de $4900$ oiseaux à partir de 2043 ($2027 + 16$).