Devoir sur 20 : Loi des grands nombres

Devoir d'une heure, noté sur 20 points. Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (6 points)

Répondre en justifiant brièvement. (1 point par question)

$E(X) = 50$ et $V(X) = 16$ . Majorer $P\big(\lvert X - 50 \rvert \geqslant 10\big)$ .
Avec la même variable, minorer $P(42 < X < 58)$ .
$\sigma(X) = 3$ . Majorer $P\big(\lvert X - \mu \rvert \geqslant 12\big)$ .
$M_{100}$ est la moyenne d'un échantillon d'une variable d'espérance $\mu$ et de variance $25$ . Majorer $P\big(\lvert M_{100} - \mu \rvert \geqslant 1\big)$ .
Avec la même variable, donner une taille $n$ qui suffit pour une précision de $1$ et un risque de $5\,\%$ .
$X$ suit la loi $\mathcal{B}(200\,;0{,}5)$ . Majorer $P(X \geqslant 120)$ .

Exercice 2 (5 points)

Cet exercice reprend les résultats centraux du chapitre.

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $V$ , et $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ de sa loi.

Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. (1 point)
Démontrer l'inégalité de concentration à partir de cette inégalité. On rappellera $E(M_n)$ et $V(M_n)$ . (2 points)
Démontrer la loi des grands nombres. (2 points)

Exercice 3 (9 points)

Un festival prête à ses spectateurs des gobelets réutilisables.

Partie A (3,5 points). On prête $500$ gobelets. Chacun est rendu avec la probabilité $0{,}8$ , indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de gobelets rendus.

Donner la loi de $X$ , puis calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ (arrondi au centième). (1,5 point)
Minorer $P(380 < X < 420)$ avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. (1 point)
Justifier que $P(370 < X < 420)$ vérifie la même minoration. (0,5 point)
À la calculatrice, donner une valeur approchée de $P(380 < X < 420)$ au millième. Commenter. (0,5 point)

Partie B (3 points). La dépense $Y$ d'un spectateur à la buvette, en euros, a pour espérance $12$ et pour écart type $5$ . Les dépenses de $n$ spectateurs forment un échantillon de la loi de $Y$ . On note $M_n$ leur moyenne et $S_n$ leur somme.

Majorer $P\big(\lvert M_{100} - 12 \rvert \geqslant 2\big)$ . (1 point)
Déterminer une taille $n$ qui suffit pour que $P\big(\lvert M_n - 12 \rvert \geqslant 1\big) \leqslant 0{,}02$ . (1 point)
Pour cette taille, calculer $E(S_n)$ et majorer $P\big(\lvert S_n - E(S_n) \rvert \geqslant n\big)$ . (1 point)

Partie C (2,5 points). On veut estimer la proportion $p$ de spectateurs venus en train.

Déterminer une taille d'échantillon qui suffit pour une précision de $0{,}05$ et un risque de $10\,\%$ , quelle que soit la valeur de $p$ . (1 point)
Compléter la fonction suivante, qui simule la fréquence des succès sur $n$ épreuves de Bernoulli de paramètre $p$ . (1 point)

from random import random

def frequence(n, p):
    succes = 0
    for i in range(n):
        if random() < p:
            succes = ...
    return ...

Vers quoi tend $P\big(\lvert F_n - p \rvert \geqslant 0{,}05\big)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ? Quel résultat l'assure ? (0,5 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (1 pt) $\dfrac{16}{10^2} = 0{,}16$ .

2. (1 pt) $P(42 < X < 58) = P\big(\lvert X - 50 \rvert < 8\big) \geqslant 1 - \dfrac{16}{64} = 0{,}75$ .

3. (1 pt) $12 = 4\sigma$ , donc la borne vaut $\dfrac{1}{4^2} = 0{,}0625$ .

4. (1 pt) $\dfrac{25}{100 \times 1^2} = 0{,}25$ .

5. (1 pt) $n \geqslant \dfrac{25}{0{,}05 \times 1^2} = 500$ .

6. (1 pt) $E(X) = 100$ et $V(X) = 50$ . Si $X \geqslant 120$ , alors $\lvert X - 100 \rvert \geqslant 20$ . Donc $P(X \geqslant 120) \leqslant \dfrac{50}{400} = 0{,}125$ .

Exercice 2

1. (1 pt) Pour tout réel $\delta > 0$ : $P\big(\lvert X - \mu \rvert \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}$ .

2. (2 pts) $E(M_n) = \mu$ et $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ . (1 pt) On applique l'inégalité à $M_n$ : pour tout $\delta > 0$ , $P\big(\lvert M_n - \mu \rvert \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V(M_n)}{\delta^2} = \dfrac{V}{n\,\delta^2}$ . (1 pt)

3. (2 pts) Soit $\delta > 0$ . Pour tout $n \geqslant 1$ , $0 \leqslant P\big(\lvert M_n - \mu \rvert \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V}{n\,\delta^2}$ . (0,5 pt) Comme $\dfrac{V}{\delta^2}$ est une constante et que $\dfrac1n$ tend vers $0$ , le majorant tend vers $0$ . (0,5 pt) D'après le théorème des gendarmes, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P\big(\lvert M_n - \mu \rvert \geqslant \delta\big) = 0$ . (1 pt)

Exercice 3

Partie A. 1. (1,5 pt) On répète $500$ fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $0{,}8$ : $X$ suit la loi $\mathcal{B}(500\,;0{,}8)$ . $E(X) = 400$ ; $V(X) = 80$ ; $\sigma(X) = \sqrt{80} \approx 8{,}94$ . 2. (1 pt) $P(380 < X < 420) = P\big(\lvert X - 400 \rvert < 20\big) \geqslant 1 - \dfrac{80}{400} = 0{,}8$ . 3. (0,5 pt) L'intervalle $]380\,;420[$ est contenu dans $]370\,;420[$ , donc $P(370 < X < 420) \geqslant P(380 < X < 420) \geqslant 0{,}8$ . 4. (0,5 pt) $P(380 < X < 420) \approx 0{,}971$ : la vraie valeur dépasse nettement la garantie, car l'inégalité est loin d'être optimale.

Partie B. 1. (1 pt) $V = 25$ , donc $P\big(\lvert M_{100} - 12 \rvert \geqslant 2\big) \leqslant \dfrac{25}{100 \times 4} = 0{,}0625$ . 2. (1 pt) Il suffit que $\dfrac{25}{n} \leqslant 0{,}02$ , soit $n \geqslant 1\,250$ . 3. (1 pt) $E(S_{1\,250}) = 1\,250 \times 12 = 15\,000$ . L'événement $\lvert S_n - 15\,000 \rvert \geqslant n$ est le même que $\lvert M_n - 12 \rvert \geqslant 1$ . Sa probabilité est donc au plus $0{,}02$ .

Partie C. 1. (1 pt) Comme $p(1 - p) \leqslant \dfrac14$ , il suffit que $n \geqslant \dfrac{1}{4 \times 0{,}1 \times 0{,}05^2} = 1\,000$ . 2. (1 pt) succes = succes + 1 (0,5 pt) et return succes / n (0,5 pt). 3. (0,5 pt) Elle tend vers $0$ , d'après la loi des grands nombres.