Devoir sur 20 : Primitives et équations différentielles

Devoir d'une heure, noté sur 20 points. Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (6 points)

Déterminer une primitive de chaque fonction sur l'intervalle indiqué.

$f(x) = 3x^2 - 4x + \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0\,;+\infty[$ (1 point)
$g(x) = x\,\mathrm{e}^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$ (1 point)
$h(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 3}$ sur $\mathbb{R}$ (1 point)
$k(x) = \sin(2x) + \cos x$ sur $\mathbb{R}$ (1 point)
Déterminer la primitive $F$ de $m : x \mapsto \dfrac{2}{\sqrt x} + 1$ sur $]0\,;+\infty[$ telle que $F(1) = 2$ . (2 points)

Exercice 2 (9 points)

On considère l'équation différentielle $(E) : y' + 2y = 3\,\mathrm{e}^{-x}$ .

Vérifier que $p : x \mapsto 3\,\mathrm{e}^{-x}$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ . (1 point)
Résoudre $(E)$ sur $\mathbb{R}$ . (1,5 point)
Montrer que la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 1$ est définie par $f(x) = 3\,\mathrm{e}^{-x} - 2\,\mathrm{e}^{-2x}$ . (1 point)
Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ . On pourra écrire $f(x) = \mathrm{e}^{-2x}\left(3\,\mathrm{e}^x - 2\right)$ . (1,5 point)
Montrer que $f'(x) = \mathrm{e}^{-2x}\left(4 - 3\,\mathrm{e}^x\right)$ , dresser le tableau de variations de $f$ et préciser la valeur exacte de son maximum. (2,5 points)
Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ . (1,5 point)

Exercice 3 (5 points)

Une bouteille de jus de fruits sort du réfrigérateur à $4$ °C. La pièce est à $20$ °C. On note $T(t)$ la température du jus, en degrés Celsius, $t$ minutes après sa sortie. On admet que $T' = -0{,}2\,T + 4, \qquad T(0) = 4.$

Vérifier que cette équation s'écrit $T' = -0{,}2\,(T - 20)$ , puis déterminer sa solution constante. (1 point)
Montrer que $T(t) = 20 - 16\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ . (1,5 point)
Étudier le sens de variation de $T$ et sa limite en $+\infty$ . Interpréter. (1 point)
Au bout de combien de temps le jus atteint-il $15$ °C ? Arrondir au dixième de minute. (1 point)
Avec la méthode d'Euler de pas $h = 1$ , calculer $y_1$ et $y_2$ , valeurs approchées de $T(1)$ et $T(2)$ . (0,5 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

$F_1(x) = x^3 - 2x^2 - \dfrac1x$ . (1 point)
$g = \dfrac12\,u'\,\mathrm{e}^u$ avec $u(x) = x^2$ : $G(x) = \dfrac12\,\mathrm{e}^{x^2}$ . (1 point)
$h = 2\,\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^2 + 3 > 0$ : $H(x) = 2\ln\left(x^2 + 3\right)$ . (1 point)
$K(x) = -\dfrac12\cos(2x) + \sin x$ . (1 point)
$F(x) = 4\sqrt x + x + c$ . (1 point) $F(1) = 5 + c = 2$ donne $c = -3$ : $F(x) = 4\sqrt x + x - 3$ . (1 point)

Exercice 2

$p'(x) = -3\,\mathrm{e}^{-x}$ , donc $p'(x) + 2p(x) = -3\,\mathrm{e}^{-x} + 6\,\mathrm{e}^{-x} = 3\,\mathrm{e}^{-x}$ . (1 point)
$(E) \iff y' = -2y + 3\,\mathrm{e}^{-x}$ . Les solutions de $y' = -2y$ sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{-2x}$ . (0,5 point) Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{-2x} + 3\,\mathrm{e}^{-x}$ , $C$ réel. (1 point)
$f(0) = C + 3 = 1$ donne $C = -2$ , d'où le résultat. (1 point)
En $+\infty$ : $\mathrm{e}^{-x} \to 0$ et $\mathrm{e}^{-2x} \to 0$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 0$ . (0,5 point) En $-\infty$ : $\mathrm{e}^{-2x} \to +\infty$ et $3\,\mathrm{e}^x - 2 \to -2$ , donc $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$ . (1 point)
$f'(x) = -3\,\mathrm{e}^{-x} + 4\,\mathrm{e}^{-2x} = \mathrm{e}^{-2x}\left(-3\,\mathrm{e}^x + 4\right)$ . (0,5 point) $f'(x) > 0 \iff \mathrm{e}^x < \dfrac43 \iff x < \ln\dfrac43$ . (0,5 point) $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty\,;\ln\dfrac43\right]$ , strictement décroissante sur $\left[\ln\dfrac43\,;+\infty\right[$ . (0,5 point) Avec $\mathrm{e}^{-x} = \dfrac34$ : le maximum vaut $f\left(\ln\dfrac43\right) = 3 \times \dfrac34 - 2 \times \dfrac{9}{16} = \dfrac98$ . (1 point)
$F(x) = -3\,\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-2x}$ . (1,5 point)

Exercice 3

$-0{,}2\,(T - 20) = -0{,}2\,T + 4$ . (0,5 point) Solution constante : $\dfrac{4}{0{,}2} = 20$ . (0,5 point)
$T(t) = C\,\mathrm{e}^{-0{,}2t} + 20$ . (1 point) $T(0) = C + 20 = 4$ donne $C = -16$ . (0,5 point)
$T'(t) = 3{,}2\,\mathrm{e}^{-0{,}2t} > 0$ : $T$ est strictement croissante. (0,5 point) $\lim\limits_{t\to+\infty} T(t) = 20$ : le jus se rapproche de la température de la pièce. (0,5 point)
$20 - 16\,\mathrm{e}^{-0{,}2t} = 15 \iff \mathrm{e}^{-0{,}2t} = \dfrac{5}{16} \iff t = 5\ln\left(\dfrac{16}{5}\right) \approx 5{,}8$ minutes. (1 point)
$y_1 = 4 + 1 \times (-0{,}8 + 4) = 7{,}2$ et $y_2 = 7{,}2 + 1 \times (-1{,}44 + 4) = 9{,}76$ . (0,5 point) (La valeur exacte est $T(2) \approx 9{,}27$ .)