Sommes de variables aléatoires

1. Question 1 sur 20$E(X) = 3$ et $E(Y) = 5$ . Alors $E(X + Y) =$

   A $15$ B $8$ C $2$ D on ne peut pas le savoir sans l'indépendance

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   Réponse B. La linéarité donne $3 + 5 = 8$ , que $X$ et $Y$ soient indépendantes ou non.

2. Question 2 sur 20L'égalité $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ est vraie

   A seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes B seulement si $X$ et $Y$ ont la même loi C pour toutes variables $X$ et $Y$ D seulement si $X$ et $Y$ sont positives

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   Réponse C. C'est la linéarité de l'espérance : aucune condition n'est nécessaire.

3. Question 3 sur 20$E(X) = 2$ . Alors $E(5X) =$

   A $7$ B $10$ C $25$ D $2{,}5$

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   Réponse B. $E(aX) = a\,E(X) = 5 \times 2 = 10$ .

4. Question 4 sur 20$X$ vaut $1$ ou $3$ avec la probabilité $0{,}5$ chacune. $Y$ , indépendante de $X$ , vaut $0$ avec la probabilité $0{,}75$ et $4$ avec la probabilité $0{,}25$ . Alors $P(X + Y = 3) =$

   A $0{,}5$ B $0{,}75$ C $0{,}375$ D $0{,}125$

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   Réponse C. $X + Y = 3$ seulement si $X = 3$ et $Y = 0$ : $0{,}5 \times 0{,}75 = 0{,}375$ .

5. Question 5 sur 20$E(X) = 4$ . Alors $E(3X - 2) =$

   A $12$ B $10$ C $14$ D $6$

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   Réponse B. $3 \times 4 - 2 = 10$ .

6. Question 6 sur 20$V(X) = 5$ . Alors $V(3X - 2) =$

   A $45$ B $15$ C $13$ D $43$

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   Réponse A. $V(aX + b) = a^2\,V(X) = 9 \times 5 = 45$ : la constante disparaît et $a$ est au carré.

7. Question 7 sur 20$\sigma(X) = 2$ . Alors $\sigma(1 - 5X) =$

   A $-10$ B $9$ C $10$ D $100$

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   Réponse C. $\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X) = 5 \times 2 = 10$ . Un écart type n'est jamais négatif.

8. Question 8 sur 20$X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $V(X) = 4$ et $V(Y) = 9$ . Alors $V(X + Y) =$

   A $5$ B $13$ C $25$ D $36$

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   Réponse B. Par additivité, $4 + 9 = 13$ .

9. Question 9 sur 20Avec les mêmes variables, $\sigma(X + Y) =$

   A $5$ B $13$ C $\sqrt{13}$ D $6$

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   Réponse C. $\sigma(X + Y) = \sqrt{13} \approx 3{,}61$ . La réponse A additionne les écarts types, ce qui est faux.

10. Question 10 sur 20Avec les mêmes variables, $V(X - Y) =$

    A $-5$ B $5$ C $13$ D $4$

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    Réponse C. $V(X - Y) = V(X) + V(-Y) = V(X) + V(Y) = 13$ .

11. Question 11 sur 20$V(X) = 3$ et $Y = X$ . Alors $V(X + Y) =$

    A $6$ B $9$ C $3$ D $12$

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    Réponse D. $X + Y = 2X$ , donc $V(X + Y) = 4 \times 3 = 12$ . L'additivité ne s'applique pas, car $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

12. Question 12 sur 20$X$ suit la loi $\mathcal{B}(40\,;0{,}25)$ . Alors $E(X) =$

    A $10$ B $7{,}5$ C $30$ D $20$

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    Réponse A. $E(X) = np = 40 \times 0{,}25 = 10$ .

13. Question 13 sur 20Avec la même variable, $V(X) =$

    A $10$ B $7{,}5$ C $30$ D $2{,}5$

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    Réponse B. $V(X) = np(1 - p) = 10 \times 0{,}75 = 7{,}5$ .

14. Question 14 sur 20La démonstration de $V(X) = np(1 - p)$ pour une loi binomiale utilise

    A la linéarité de la variance, sans condition B l'additivité de la variance pour des variables de Bernoulli indépendantes C la formule $E(aX) = a\,E(X)$ seulement D l'égalité $V(X) = E(X)^2$

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    Réponse B. $X$ est la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes, de variance $p(1 - p)$ .

15. Question 15 sur 20$(X_1, \ldots, X_{100})$ est un échantillon d'une loi d'espérance $5$ et d'écart type $2$ . Alors $E(S_{100}) =$

    A $5$ B $50$ C $500$ D $5\,000$

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    Réponse C. $E(S_n) = n\,E(X) = 100 \times 5 = 500$ .

16. Question 16 sur 20Avec le même échantillon, $\sigma(S_{100}) =$

    A $200$ B $20$ C $2$ D $0{,}2$

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    Réponse B. $\sigma(S_n) = \sqrt{n}\,\sigma(X) = 10 \times 2 = 20$ .

17. Question 17 sur 20Avec le même échantillon, $\sigma(M_{100}) =$

    A $0{,}02$ B $0{,}2$ C $2$ D $20$

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    Réponse B. $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2$ .

18. Question 18 sur 20Trois épreuves indépendantes réussissent avec les probabilités $0{,}2$ , $0{,}5$ et $0{,}9$ . $X$ est le nombre de réussites. Alors $E(X) =$

    A $1{,}6$ B $0{,}09$ C $1{,}5$ D $0{,}53$

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    Réponse A. $X$ est une somme de trois variables de Bernoulli : $0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}9 = 1{,}6$ .

19. Question 19 sur 20Avec la même variable, $V(X) =$

    A $1{,}6$ B $0{,}5$ C $0{,}48$ D $0{,}09$

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    Réponse B. $0{,}2 \times 0{,}8 + 0{,}5 \times 0{,}5 + 0{,}9 \times 0{,}1 = 0{,}16 + 0{,}25 + 0{,}09 = 0{,}5$ .

20. Question 20 sur 20Un sac contient $30$ billes, dont $12$ rouges. On en tire $5$ au hasard, sans remise. $X$ est le nombre de billes rouges obtenues. Alors $E(X) =$

    A $2$ B $2{,}4$ C $1{,}2$ D on ne peut pas le calculer, car les tirages ne sont pas indépendants

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    Réponse A. $X = X_1 + \cdots + X_5$ avec $E(X_i) = \dfrac{12}{30} = 0{,}4$ . Par linéarité, $E(X) = 5 \times 0{,}4 = 2$ .

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.