QCM · Chapitre 3

Vecteurs, droites et plans de l'espace

20 questions, une seule bonne réponse à chaque fois. Le chapitre est validé à 70 %, soit 14 bonnes réponses sur 20. Tentatives illimitées.

20 questionsSeuil : 70 %

Question 1 sur 20Dans le cube, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CG} =$
$\overrightarrow{AF}$ $\overrightarrow{AG}$ $\overrightarrow{BG}$ $\overrightarrow{AC}$

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Réponse A. $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{BF}$ , donc la somme vaut $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AF}$ .
Question 2 sur 20Dans le cube, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} =$
$\overrightarrow{AH}$ $\overrightarrow{AG}$ $\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{EC}$

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Réponse B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AG}$ : c'est la grande diagonale.
Question 3 sur 20Dans le cube, $\overrightarrow{BH} =$
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ $-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ $-\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$

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Réponse B. On passe par $A$ puis par $D$ : $\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DH}$ .
Question 4 sur 20Dans le cube, l'image du point $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AE}$ est
$H$ $E$ $C$ $G$

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Réponse A. $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$ : la translation fait monter la face du bas sur la face du haut.
Question 5 sur 20Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul. Les vecteurs $\vec{u}$ et $-3\vec{u}$ sont
colinéaires et de même sens colinéaires et de sens contraires non colinéaires égaux

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Réponse B. $-3\vec{u} = k\vec{u}$ avec $k = -3 < 0$ .
Question 6 sur 20Quatre points vérifient $\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ . Alors
$B$ , $C$ , $D$ sont alignés $A$ , $B$ , $D$ sont alignés $A$ , $C$ , $D$ sont alignés $ABCD$ est un parallélogramme

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Réponse A. $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ : $B$ est même le milieu de $[CD]$ .
Question 7 sur 20Dans le cube, $I$ et $J$ sont les milieux de $[AE]$ et de $[CG]$ . Alors $\overrightarrow{IJ} =$
$\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{AG}$ $\overrightarrow{EC}$ $\overrightarrow{AE}$

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Réponse A. $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CJ} = -\frac12\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AC} + \frac12\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC}$ .
Question 8 sur 20 $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. Le plan passant par $A$ et dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est l'ensemble des points $M$ tels que
$\overrightarrow{AM} = x\vec{u} + y\vec{v}$ , avec $x$ et $y$ réels $\overrightarrow{AM} = \vec{u} + \vec{v}$ $\overrightarrow{AM} = x\vec{u}$ , avec $x$ réel $\overrightarrow{AM} = x\left(\vec{u} + \vec{v}\right)$ , avec $x$ réel

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Réponse A. Les réponses C et D décrivent des droites, et B un seul point.
Question 9 sur 20Dans le cube, les points $A$ , $B$ , $G$ , $H$ sont
coplanaires alignés non coplanaires les sommets d'un tétraèdre

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Réponse A. $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AH}$ : ils forment le rectangle $ABGH$ .
Question 10 sur 20Dans le cube, les vecteurs $\overrightarrow{EG}$ , $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont
coplanaires non coplanaires deux à deux colinéaires égaux

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Réponse A. $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ , même si le segment $[EG]$ n'est pas dans la face du bas.
Question 11 sur 20Dans le cube, les droites $(AB)$ et $(CG)$ sont
sécantes parallèles non coplanaires confondues

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Réponse C. Elles n'ont aucun point commun, et $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CG}$ ne sont pas colinéaires.
Question 12 sur 20Dans le cube, la droite $(EG)$ et le plan $(ABC)$ sont
strictement parallèles sécants en $G$ tels que $(EG)$ est contenue dans $(ABC)$ sécants en $E$

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Réponse A. $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$ est dans la direction de $(ABC)$ , et $E$ n'est pas dans ce plan.
Question 13 sur 20Deux droites de l'espace qui n'ont aucun point commun sont
toujours parallèles parallèles ou non coplanaires toujours non coplanaires sécantes

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Réponse B. Dans l'espace, « sans point commun » ne suffit pas pour être parallèles : pense à $(AB)$ et $(CG)$ .
Question 14 sur 20 $ABCD$ est un tétraèdre ; $I$ , $J$ , $K$ sont les milieux de $[AB]$ , $[AC]$ , $[AD]$ . Les plans $(IJK)$ et $(BCD)$ sont
strictement parallèles sécants selon $(BC)$ confondus sécants selon une droite passant par $A$

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Réponse A. $\overrightarrow{IJ} = \frac12\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{IK} = \frac12\overrightarrow{BD}$ : même direction, et $I \notin (BCD)$ .
Question 15 sur 20Dans le repère $(A\,;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ , le milieu $I$ de $[FG]$ a pour coordonnées
$\left(1\,;\frac12\,;1\right)$ $\left(\frac12\,;1\,;1\right)$ $\left(1\,;1\,;\frac12\right)$ $\left(\frac12\,;\frac12\,;1\right)$

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Réponse A. $F(1\,;0\,;1)$ et $G(1\,;1\,;1)$ , et l'on fait la moyenne des coordonnées.
Question 16 sur 20Dans le cube, lequel de ces triplets est une base de l'espace ?
$(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AG})$ $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AC})$ $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AE}, \overrightarrow{AF})$ $(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}, \overrightarrow{AH})$

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Réponse A. Dans B, C et D, le troisième vecteur est la somme des deux premiers : ils sont coplanaires.
Question 17 sur 20Dans un repère, $\vec{u}\,(2\,;-1\,;3)$ et $\vec{v}\,(-4\,;2\,;-6)$ . Alors
$\vec{v} = -2\vec{u}$ $\vec{v} = 2\vec{u}$ $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires $\vec{u} = \vec{v}$

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Réponse A. Chaque coordonnée de $\vec{v}$ est celle de $\vec{u}$ multipliée par $-2$ .
Question 18 sur 20 $ABCD$ est un tétraèdre ; $I$ , $J$ , $K$ , $L$ sont les milieux de $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ . Le quadrilatère $IJKL$ est
un parallélogramme toujours un carré un quadrilatère dont les sommets ne sont pas coplanaires un triangle aplati

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Réponse A. $\overrightarrow{IJ} = \frac12\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{LK}$ .
Question 19 sur 20Dans le cube, le point $K$ est défini par $\overrightarrow{AK} = \frac13\overrightarrow{AG}$ . Alors
$K$ appartient au plan $(BDE)$ $K$ est le milieu de $[AG]$ $K$ appartient au plan $(ABC)$ $K$ appartient au plan $(CFH)$

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Réponse A. $\overrightarrow{BK} = \frac13\overrightarrow{BD} + \frac13\overrightarrow{BE}$ . C'est le point aux deux tiers qui est dans $(CFH)$ .
Question 20 sur 20Pour démontrer que quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ (avec $A$ , $B$ , $C$ non alignés) sont coplanaires, il suffit de montrer que
il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\overrightarrow{AD} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$ $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})$ est une base de l'espace les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont non coplanaires $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés

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Réponse A. Les réponses B et C disent exactement le contraire, et D ne dit rien sur $D$ .