Logarithme

Leçon 1 : La fonction logarithme népérien

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1.1 Une équation sans outil

Résolvons $\mathrm{e}^x = 2$. La fonction exponentielle est continue (elle est dérivable, chapitre 7) et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Comme $\mathrm{e}^0 = 1 < 2$ et $\mathrm{e}^1 = \mathrm{e} \approx 2{,}718 > 2$, le théorème des valeurs intermédiaires (cas des fonctions continues strictement monotones, chapitre 7) donne une unique solution, comprise entre $0$ et $1$. La calculatrice donne environ $0{,}693$. Mais aucune des fonctions connues ne donne la valeur exacte : il faut une nouvelle fonction.

1.2 Définition

Propriété. Pour tout réel $k > 0$, l'équation $\mathrm{e}^x = k$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$. Pour $k \leq 0$, elle n'en admet aucune.

Pourquoi. La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\lim\limits_{x\to-\infty} \mathrm{e}^x = 0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$ (chapitre 4). Si $k > 0$, il existe donc un réel $a$ tel que $\mathrm{e}^a < k$ et un réel $b$ tel que $\mathrm{e}^b > k$ ; le théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur $[a\,;b]$ donne une solution, et la stricte croissance empêche qu'il y en ait deux. Si $k \leq 0$, il n'y a pas de solution, car $\mathrm{e}^x > 0$ pour tout réel $x$.

Définition. Pour tout réel $x > 0$, le logarithme népérien de $x$, noté $\ln x$ ou $\ln(x)$, est l'unique réel dont l'exponentielle vaut $x$. La fonction $\ln : x \mapsto \ln x$ est définie sur $]0\,;+\infty[$.

Le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas.

1.3 Une fonction réciproque

La définition se traduit par une équivalence : pour tout réel $x > 0$ et tout réel $y$, $y = \ln x \iff \mathrm{e}^y = x.$

On dit que la fonction $\ln$ est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. L'exponentielle associe à chaque réel un nombre strictement positif, et chaque nombre strictement positif est atteint exactement une fois : c'est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]0\,;+\infty[$. Le logarithme fait le chemin inverse, de $]0\,;+\infty[$ vers $\mathbb{R}$. $x \;\xrightarrow{\;\exp\;}\; \mathrm{e}^x \;\xrightarrow{\;\ln\;}\; x$

1.4 Premières valeurs

Pour les autres nombres, on utilise la touche « ln » de la calculatrice : $\ln 2 \approx 0{,}693$, $\ln 10 \approx 2{,}303$, $\ln 0{,}5 \approx -0{,}693$.

1.5 Deux formules

Elles découlent directement de la définition :

• pour tout réel $x > 0$, $\quad \mathrm{e}^{\ln x} = x$ ;
• pour tout réel $x$, $\quad \ln\left(\mathrm{e}^x\right) = x$.

Appliquer l'une des deux fonctions puis l'autre ramène au point de départ. La première formule n'a de sens que pour $x > 0$.

1.6 Exemples

Exemple 1. $\ln\left(\mathrm{e}^{-3}\right) = -3$ ; $\quad \mathrm{e}^{\ln 7} = 7$ ; $\quad \ln\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right) = \ln\left(\mathrm{e}^{1/2}\right) = \dfrac12$, car $\sqrt{\mathrm{e}} = \mathrm{e}^{1/2}$.

Exemple 2. Résoudre $\mathrm{e}^x = 5$. Comme $5 > 0$, l'unique solution est $x = \ln 5 \approx 1{,}609$. L'équation $\mathrm{e}^x = -3$ n'a aucune solution ; l'équation $\mathrm{e}^x = 1$ a pour solution $x = \ln 1 = 0$.

Exemple 3. Résoudre $\ln x = 2$, pour $x > 0$. Par l'équivalence de 1.3, $\ln x = 2 \iff x = \mathrm{e}^2 \approx 7{,}389$. De même, $\ln x = -1 \iff x = \mathrm{e}^{-1} = \dfrac1{\mathrm{e}} \approx 0{,}368$.

Exemple 4. Résoudre $\mathrm{e}^{3x} = 4$. Comme $4 > 0$ : $3x = \ln 4$, donc $x = \dfrac{\ln 4}{3} \approx 0{,}462$.

Leçon 2 : Propriétés algébriques

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2.1 La relation fondamentale

Propriété. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, $\ln(ab) = \ln a + \ln b.$ On dit que le logarithme transforme les produits en sommes.

Démonstration. D'après la propriété de l'exponentielle vue en Première, $\mathrm{e}^{\ln a + \ln b} = \mathrm{e}^{\ln a} \times \mathrm{e}^{\ln b} = a \times b.$ Par ailleurs, $\mathrm{e}^{\ln(ab)} = ab$. Les réels $\ln a + \ln b$ et $\ln(ab)$ ont la même exponentielle. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, deux réels distincts ont des exponentielles distinctes : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.

2.2 Les conséquences

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, et tout entier relatif $n$ :

2.3 Exemples

Exemple 5. Écrire en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$.

• $\ln 18 = \ln\left(2 \times 3^2\right) = \ln 2 + 2\ln 3$.
• $\ln\left(\dfrac1{16}\right) = -\ln\left(2^4\right) = -4\ln 2$.
• $\ln\left(\sqrt{12}\right) = \dfrac12\ln\left(2^2 \times 3\right) = \dfrac12\left(2\ln 2 + \ln 3\right) = \ln 2 + \dfrac12\ln 3$.
• $\ln 0{,}75 = \ln\left(\dfrac34\right) = \ln 3 - 2\ln 2$.

Exemple 6. $A = \ln\left(\mathrm{e}^3\right) - \ln\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right) + \ln\left(\dfrac1{\mathrm{e}^2}\right) = 3 - \dfrac12 - 2 = \dfrac12$. $B = \ln 12 - \ln 3 - \ln 4 = \ln\left(\dfrac{12}{3 \times 4}\right) = \ln 1 = 0$.

Exemple 7. Pour tout réel $x > 0$ : $\ln\left(x^2 + x\right) - \ln x = \ln\left(\dfrac{x^2 + x}{x}\right) = \ln(x + 1)$.

Exemple 8. $3 - \sqrt5 > 0$, car $\sqrt5 \approx 2{,}236$. Donc $\ln\left(3 + \sqrt5\right) + \ln\left(3 - \sqrt5\right) = \ln\left(\left(3 + \sqrt5\right)\left(3 - \sqrt5\right)\right) = \ln(9 - 5) = \ln 4 = 2\ln 2.$

2.4 Les pièges

• Il n'y a pas de formule pour le logarithme d'une somme. $\ln(1 + 1) = \ln 2 \approx 0{,}693$, alors que $\ln 1 + \ln 1 = 0$.
• Le logarithme d'un produit n'est pas le produit des logarithmes. $\ln\left(\mathrm{e} \times \mathrm{e}\right) = 2$, alors que $\ln \mathrm{e} \times \ln \mathrm{e} = 1$.
• Attention au signe. La règle $\ln\left(a^n\right) = n\ln a$ demande $a > 0$. Pour $x = -3$, $\ln\left(x^2\right) = \ln 9$ existe, mais $\ln x$ n'existe pas : $\ln\left(x^2\right) = 2\ln x$ n'est vrai que pour $x > 0$.

2.5 Deux équations fonctionnelles en miroir

Le programme demande d'« utiliser l'équation fonctionnelle de l'exponentielle ou du logarithme pour transformer une écriture ». Les deux tableaux se correspondent ligne à ligne.

L'exponentielle transforme les sommes en produits ; le logarithme transforme les produits en sommes. C'est cette propriété qui a fait le succès des logarithmes, bien avant les calculatrices (leçon 8).

Leçon 3 : Équations et inéquations

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3.1 Sens de variation et comparaison

Propriété. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.

Démonstration. Soient $0 < a < b$. Si l'on avait $\ln a \geq \ln b$, la croissance de l'exponentielle donnerait $a = \mathrm{e}^{\ln a} \geq \mathrm{e}^{\ln b} = b$, ce qui est faux. Donc $\ln a < \ln b$.

Conséquences. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln a = \ln b \iff a = b \qquad\text{et}\qquad \ln a < \ln b \iff a < b.$ On les utilise avec celles de l'exponentielle, vraies pour tous réels $a$ et $b$ : $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a = b$ et $\mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b$.

3.2 Signe du logarithme

Comme $\ln 1 = 0$ et que $\ln$ est strictement croissante :

• $\ln x < 0 \iff 0 < x < 1$ ;
• $\ln x = 0 \iff x = 1$ ;
• $\ln x > 0 \iff x > 1$.

Par exemple, $\ln 0{,}5 < 0$ et $\ln 3 > 0$.

3.3 La méthode

1. Chercher où l'équation a un sens : tout ce qui est dans un logarithme doit être strictement positif.
2. Transformer l'équation, avec les règles de la leçon 2, pour comparer deux logarithmes ou deux exponentielles. Un réel $k$ s'écrit $k = \ln\left(\mathrm{e}^k\right)$, et un réel $k > 0$ s'écrit $k = \mathrm{e}^{\ln k}$.
3. Résoudre avec les équivalences de 3.1.
4. Garder seulement les solutions qui sont dans l'ensemble trouvé à l'étape 1.

Les équivalences les plus utilisées : pour tout réel $k$, $\ln x = k \iff x = \mathrm{e}^k$ et $\ln x < k \iff 0 < x < \mathrm{e}^k$ ; pour tout réel $k > 0$, $\mathrm{e}^x = k \iff x = \ln k$ et $\mathrm{e}^x < k \iff x < \ln k$.

3.4 Équations

Exemple 9. Résoudre $\ln x + \ln(x - 3) = \ln 10$.

1. Il faut $x > 0$ et $x - 3 > 0$, c'est-à-dire $x > 3$.
2. Pour $x > 3$ : $\ln\big(x(x - 3)\big) = \ln 10$.
3. Donc $x^2 - 3x = 10$, soit $x^2 - 3x - 10 = 0$, c'est-à-dire $(x - 5)(x + 2) = 0$ : $x = 5$ ou $x = -2$.
4. Seul $5$ est strictement supérieur à $3$. $\mathcal{S} = \{5\}$. Vérification : $\ln 5 + \ln 2 = \ln 10$.

Exemple 10. Résoudre $\mathrm{e}^{2x - 1} = 7$. Comme $7 > 0$ : $2x - 1 = \ln 7$, donc $x = \dfrac{1 + \ln 7}{2} \approx 1{,}473$.

Exemple 11. Résoudre $\ln(2x + 1) = 3$. Il faut $2x + 1 > 0$, soit $x > -\frac12$. Alors $2x + 1 = \mathrm{e}^3$, donc $x = \dfrac{\mathrm{e}^3 - 1}{2} \approx 9{,}543$, qui vérifie bien $x > -\frac12$.

3.5 Inéquations

Exemple 12. Résoudre $\ln(3 - x) \geq 1$. Il faut $3 - x > 0$, soit $x < 3$. Comme $1 = \ln \mathrm{e}$ et que $\ln$ est croissante : $3 - x \geq \mathrm{e}$, soit $x \leq 3 - \mathrm{e} \approx 0{,}282$. Ces nombres vérifient bien $x < 3$. $\mathcal{S} = \left]-\infty\,;3 - \mathrm{e}\right]$.

Exemple 13. Résoudre $\mathrm{e}^{-0{,}5x} < 0{,}2$. Comme $0{,}2 = \mathrm{e}^{\ln 0{,}2}$ : $-0{,}5x < \ln 0{,}2$. On divise par $-0{,}5$, qui est négatif : le sens de l'inégalité change, $x > -2\ln 0{,}2$. Or $\ln 0{,}2 = \ln\left(\frac15\right) = -\ln 5$, donc $x > 2\ln 5 \approx 3{,}219$. $\mathcal{S} = \left]2\ln 5\,;+\infty\right[$.

Exemple 14. Résoudre $\ln(x - 1) < \ln(5 - x)$. Il faut $x > 1$ et $x < 5$. Sur $]1\,;5[$ : $x - 1 < 5 - x \iff x < 3$. $\mathcal{S} = \left]1\,;3\right[$.

3.6 Un changement de variable

Exemple 15. Résoudre $\mathrm{e}^{2x} - 5\,\mathrm{e}^x + 6 = 0$. On pose $X = \mathrm{e}^x$, avec $X > 0$ ; comme $\mathrm{e}^{2x} = \left(\mathrm{e}^x\right)^2 = X^2$, l'équation devient $X^2 - 5X + 6 = 0$, soit $(X - 2)(X - 3) = 0$. Donc $\mathrm{e}^x = 2$ ou $\mathrm{e}^x = 3$ : $\mathcal{S} = \{\ln 2\,;\ln 3\}$.

Exemple 16. Résoudre $(\ln x)^2 - \ln x - 2 = 0$ sur $]0\,;+\infty[$. On pose $X = \ln x$ : $X^2 - X - 2 = 0$, soit $(X - 2)(X + 1) = 0$. Donc $\ln x = 2$ ou $\ln x = -1$ : $\mathcal{S} = \left\{\frac1{\mathrm{e}}\,;\mathrm{e}^2\right\}$.

Leçon 4 : Dérivée et variations

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4.1 La dérivée de $\ln$

Théorème (démonstration du programme, « la dérivabilité étant admise »). La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et, pour tout $x > 0$, $\ln'(x) = \frac1x.$

Démonstration. On admet que $\ln$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Pour tout $x > 0$, $\mathrm{e}^{\ln x} = x$. On dérive les deux membres.

• À gauche, la fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{\ln x}$ est de la forme $\mathrm{e}^u$ avec $u = \ln$. D'après le chapitre 5, $\left(\mathrm{e}^u\right)' = u'\,\mathrm{e}^u$ : sa dérivée est $\ln'(x) \times \mathrm{e}^{\ln x} = \ln'(x) \times x$.
• À droite, la dérivée de $x \mapsto x$ est $1$.

Donc $x \times \ln'(x) = 1$, et comme $x \neq 0$, $\ln'(x) = \dfrac1x$.

4.2 Variations

Pour tout $x > 0$, $\ln'(x) = \dfrac1x > 0$ : on retrouve que $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ (leçon 3).

4.3 Tangente en $1$ et concavité

• Tangente au point d'abscisse $1$. $\ln 1 = 0$ et $\ln'(1) = 1$ : elle a pour équation $y = 0 + 1 \times (x - 1)$, soit $y = x - 1$.
• Concavité. La dérivée seconde est $\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$ : la fonction $\ln$ est concave sur $]0\,;+\infty[$ (chapitre 5). Sa courbe est donc en dessous de ses tangentes, en particulier de la tangente en $1$ : $\text{pour tout } x > 0, \qquad \ln x \leq x - 1.$
• La même inégalité par une étude de fonction. Soit $h(x) = x - 1 - \ln x$ sur $]0\,;+\infty[$. $h'(x) = 1 - \dfrac1x = \dfrac{x - 1}{x}$, négative sur $]0\,;1[$ et positive sur $]1\,;+\infty[$ : $h$ admet un minimum en $1$, $h(1) = 0$. Donc $h(x) \geq 0$ pour tout $x > 0$.
• Une inégalité dans l'autre sens. En appliquant l'inégalité à $\frac1x$ : $\ln\left(\frac1x\right) \leq \frac1x - 1$, soit $-\ln x \leq \frac1x - 1$. Donc, pour tout $x > 0$, $1 - \frac1x \leq \ln x \leq x - 1.$
• Près de $1$. Le nombre dérivé $\ln'(1) = 1$ est la limite du taux de variation : $\lim\limits_{h\to0} \dfrac{\ln(1 + h)}{h} = 1$. Pour $h$ proche de $0$, $\ln(1 + h) \approx h$ ; par exemple $\ln 1{,}01 \approx 0{,}00995$. Cette idée sert à l'algorithme de Briggs (leçon 8).

4.4 Dérivée de $\ln(u)$

Propriété. Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. Alors $\ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $\big(\ln(u)\big)' = \frac{u'}{u}.$

C'est la dérivée d'une composée (chapitre 5) : $\big(\ln(u(x))\big)' = \ln'\big(u(x)\big) \times u'(x) = \dfrac{1}{u(x)} \times u'(x)$. Comme $u(x) > 0$, la dérivée de $\ln(u)$ a le signe de $u'$ : $\ln(u)$ a les mêmes variations que $u$.

Exemple 17. $f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right)$ sur $\mathbb{R}$ (car $x^2 + 1 > 0$). $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$, du signe de $x$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$, croissante sur $[0\,;+\infty[$, et son minimum est $f(0) = \ln 1 = 0$.

Exemple 18. $g(x) = \ln(2x - 3)$ sur $\left]\frac32\,;+\infty\right[$. $g'(x) = \dfrac{2}{2x - 3} > 0$ : $g$ est strictement croissante.

Exemple 19. $k(x) = \ln\left(\mathrm{e}^x + 1\right)$ sur $\mathbb{R}$. $k'(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x + 1} > 0$.

4.5 Une étude de fonction

Exemple 20. Soit $p(x) = x - 2\ln x$ sur $]0\,;+\infty[$.

$p'(x) = 1 - \dfrac2x = \dfrac{x - 2}{x}$. Comme $x > 0$, $p'(x)$ a le signe de $x - 2$.

$x$	$0$		$2$		$+\infty$
$p'(x)$		$-$	$0$	$+$
$p$		décroissante	$2 - 2\ln 2$	croissante

Le minimum vaut $p(2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0{,}614 > 0$. Donc $p(x) > 0$ pour tout $x > 0$ : $\ln x < \dfrac{x}{2}$ pour tout $x > 0$. Le logarithme reste loin sous la droite $y = \frac{x}{2}$ : la leçon 6 précise cette idée.

Leçon 5 : Limites et courbe

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5.1 Limite en $+\infty$

$\lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty.$

Pourquoi. Soit $A$ un réel. Comme $\ln$ est croissante, $\ln x \geq A \iff x \geq \mathrm{e}^A$. Donc l'intervalle $[A\,;+\infty[$ contient tous les $\ln x$ dès que $x \geq \mathrm{e}^A$ : c'est la définition du chapitre 4.

La croissance est très lente : pour que $\ln x$ dépasse $10$, il faut $x \geq \mathrm{e}^{10} \approx 22\,026$.

5.2 Limite en $0$

$\lim_{x\to0^+} \ln x = -\infty.$

Pourquoi. Soit $B$ un réel. Pour $x > 0$, $\ln x \leq B \iff x \leq \mathrm{e}^B$. Donc l'intervalle $]-\infty\,;B]$ contient tous les $\ln x$ dès que $0 < x \leq \mathrm{e}^B$.

Interprétation. L'axe des ordonnées (la droite d'équation $x = 0$) est asymptote verticale à la courbe de $\ln$. Par exemple, $\ln\left(10^{-6}\right) \approx -13{,}8$.

5.3 Tableau de variations complet

La double barre rappelle que $\ln$ n'est pas définie en $0$.

5.4 La courbe

• Elle passe par les points $(1\,;0)$ et $(\mathrm{e}\,;1)$.
• Sa tangente au point $(1\,;0)$ a pour équation $y = x - 1$.
• Sa tangente au point $(\mathrm{e}\,;1)$ a pour coefficient directeur $\ln'(\mathrm{e}) = \frac1{\mathrm{e}}$ et pour équation $y = 1 + \frac1{\mathrm{e}}(x - \mathrm{e})$, soit $y = \dfrac{x}{\mathrm{e}}$ : elle passe par l'origine.
• La fonction est concave : la courbe est en dessous de ses tangentes.
• Quelques valeurs : $\ln 2 \approx 0{,}69$, $\ln 5 \approx 1{,}61$, $\ln 10 \approx 2{,}30$, $\ln 0{,}5 \approx -0{,}69$.

5.5 Lien avec la courbe de l'exponentielle

Propriété. Dans un repère orthonormé, les courbes des fonctions $\exp$ et $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$.

Pourquoi. Pour tout réel $a$ et tout réel $b > 0$ : $M(a\,;b) \text{ est sur la courbe de } \exp \iff b = \mathrm{e}^a \iff a = \ln b \iff M'(b\,;a) \text{ est sur la courbe de } \ln.$ Or le point $M'(b\,;a)$ est le symétrique de $M(a\,;b)$ par rapport à la droite $y = x$.

Le programme demande de s'appuyer sur ces « images mentales » : il suffit de connaître la courbe de l'exponentielle et de la retourner autour de la droite $y = x$. Les deux inégalités $\mathrm{e}^x \geq x + 1$ (chapitre 4) et $\ln x \leq x - 1$ (leçon 4) se correspondent aussi par cette symétrie.

5.6 Limites de fonctions composées

On pose $X = u(x)$, comme au chapitre 4.

Exemple 21. $f(x) = \ln(x - 2)$ sur $]2\,;+\infty[$.

• Quand $x \to 2^+$, $X = x - 2 \to 0^+$ et $\ln X \to -\infty$ : $\lim\limits_{x\to2^+} f(x) = -\infty$. La droite $x = 2$ est asymptote verticale.
• Quand $x \to +\infty$, $X \to +\infty$ et $\ln X \to +\infty$ : $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$.

Exemple 22. $g(x) = x + \ln x$ sur $]0\,;+\infty[$. En $0^+$ : $x \to 0$ et $\ln x \to -\infty$, donc par somme $g(x) \to -\infty$. En $+\infty$ : $g(x) \to +\infty$ par somme.

Exemple 23. $h(x) = \ln\left(1 + \dfrac1x\right)$ sur $]0\,;+\infty[$. Quand $x \to +\infty$, $X = 1 + \frac1x \to 1$, et $\ln X \to \ln 1 = 0$ ($\ln$ est continue en $1$, car dérivable) : $\lim\limits_{x\to+\infty} h(x) = 0$.

Leçon 6 : Croissances comparées

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6.1 En $+\infty$

Quand $x \to +\infty$, $\ln x$ et $x$ tendent tous les deux vers $+\infty$ : le quotient $\frac{\ln x}{x}$ est une forme indéterminée.

Théorème. Pour tout entier $n \geq 1$, $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0.$

Démonstration. Cas $n = 1$. On pose $X = \ln x$, donc $x = \mathrm{e}^X$. Quand $x \to +\infty$, $X \to +\infty$, et $\frac{\ln x}{x} = \frac{X}{\mathrm{e}^X}.$ D'après la croissance comparée du chapitre 4, $\lim\limits_{X\to+\infty} \dfrac{X}{\mathrm{e}^X} = 0$. Donc $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.

Cas $n \geq 2$. $\dfrac{\ln x}{x^n} = \dfrac{\ln x}{x} \times \dfrac{1}{x^{n-1}}$, produit de deux facteurs qui tendent vers $0$.

6.2 En $0$ : la limite de $x\ln x$

Théorème (démonstration du programme). $\lim_{x\to0^+} x\ln x = 0.$

Démonstration. Quand $x \to 0^+$, $x\ln x$ est de la forme « $0 \times (-\infty)$ », indéterminée. On pose $X = \ln x$, donc $x = \mathrm{e}^X$. Quand $x \to 0^+$, $X \to -\infty$ (leçon 5), et $x\ln x = \mathrm{e}^X \times X = X\,\mathrm{e}^X.$ D'après le chapitre 4, $\lim\limits_{X\to-\infty} X\,\mathrm{e}^X = 0$. Donc $\lim\limits_{x\to0^+} x\ln x = 0$.

Conséquence. Pour tout entier $n \geq 1$, $\lim\limits_{x\to0^+} x^n\ln x = 0$ : pour $n \geq 2$, $x^n\ln x = x^{n-1} \times x\ln x$, produit de deux facteurs qui tendent vers $0$.

6.3 La règle à retenir

En $+\infty$ comme en $0$, face à une puissance de $x$, c'est la puissance qui l'emporte sur le logarithme.

En $+\infty$, les trois fonctions $\ln x$, $x^n$ et $\mathrm{e}^x$ tendent vers $+\infty$, de plus en plus vite. Quelques valeurs :

• pour $x = 10^6$ : $\ln x \approx 13{,}8$ et $\dfrac{\ln x}{x} \approx 0{,}000\,014$ ;
• pour $x = 0{,}001$ : $\ln x \approx -6{,}9$ et $x\ln x \approx -0{,}0069$.

6.4 Exemples

Exemple 24. $\lim\limits_{x\to+\infty} (x - \ln x)$ : forme « $\infty - \infty$ ». On factorise par $x$ : $x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right).$ Par croissance comparée, la parenthèse tend vers $1$ ; donc $\lim\limits_{x\to+\infty} (x - \ln x) = +\infty$.

Exemple 25. $\lim\limits_{x\to0^+} x(\ln x - 2) = \lim\limits_{x\to0^+} (x\ln x - 2x) = 0 - 0 = 0$, et $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{3\ln x}{x^2} = 3 \times 0 = 0$.

Exemple 26 : étude de $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$.

• Limites. En $0^+$ : $\ln x \to -\infty$ et $\frac1x \to +\infty$, donc $f(x) = \ln x \times \frac1x \to -\infty$ (ce n'est pas une forme indéterminée). En $+\infty$ : $f(x) \to 0$ par croissance comparée. Les deux axes sont asymptotes.
• Dérivée. Par la règle du quotient : $f'(x) = \dfrac{\frac1x \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$, du signe de $1 - \ln x$ : positive si $x < \mathrm{e}$, négative si $x > \mathrm{e}$.

$x$	$0$		$\mathrm{e}$		$+\infty$
$f'(x)$	‖	$+$	$0$	$-$
$f$	$-\infty$	croissante	$\frac1{\mathrm{e}}$	décroissante	$0$

Le maximum est $f(\mathrm{e}) = \dfrac1{\mathrm{e}} \approx 0{,}368$. La courbe coupe l'axe des abscisses en $x = 1$. Conséquence : $\ln x \leq \dfrac{x}{\mathrm{e}}$ pour tout $x > 0$ ; c'est la tangente de la leçon 5, qui passe par l'origine.

Leçon 7 : Résoudre des problèmes

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7.1 Seuils

Le logarithme fait « descendre » un exposant : pour tout réel $q > 0$ et tout entier $n$, $\ln\left(q^n\right) = n\ln q$. Pour résoudre $q^n > A$ (avec $A > 0$), on prend le logarithme des deux membres, ce qui garde le sens de l'inégalité car $\ln$ est croissante : $q^n > A \iff n\ln q > \ln A.$ Puis on divise par $\ln q$ :

• si $q > 1$, $\ln q > 0$ et $n > \dfrac{\ln A}{\ln q}$ ;
• si $0 < q < 1$, $\ln q < 0$ : le sens de l'inégalité change, $n < \dfrac{\ln A}{\ln q}$.

7.2 Retour sur le chapitre 2

Au chapitre 2, les seuils étaient trouvés par un algorithme. Le logarithme donne maintenant le résultat par le calcul.

Exemple 27 (le capital qui double). Un capital de $1000$ € est placé à $3\,\%$ par an : $u_n = 1000 \times 1{,}03^n$. Il dépasse $2000$ € quand $1{,}03^n > 2$, c'est-à-dire $n\ln 1{,}03 > \ln 2$. Comme $\ln 1{,}03 > 0$ : $n > \frac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}45.$ Le plus petit entier qui convient est $n = 24$ : c'est le résultat de l'algorithme du chapitre 2.