Limites et courbe

5.1 Limite en $+\infty$

$\lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty.$

Pourquoi. Soit $A$ un réel. Comme $\ln$ est croissante, $\ln x \geq A \iff x \geq \mathrm{e}^A$. Donc l'intervalle $[A\,;+\infty[$ contient tous les $\ln x$ dès que $x \geq \mathrm{e}^A$ : c'est la définition du chapitre 4.

La croissance est très lente : pour que $\ln x$ dépasse $10$, il faut $x \geq \mathrm{e}^{10} \approx 22\,026$.

5.2 Limite en $0$

$\lim_{x\to0^+} \ln x = -\infty.$

Pourquoi. Soit $B$ un réel. Pour $x > 0$, $\ln x \leq B \iff x \leq \mathrm{e}^B$. Donc l'intervalle $]-\infty\,;B]$ contient tous les $\ln x$ dès que $0 < x \leq \mathrm{e}^B$.

Interprétation. L'axe des ordonnées (la droite d'équation $x = 0$) est asymptote verticale à la courbe de $\ln$. Par exemple, $\ln\left(10^{-6}\right) \approx -13{,}8$.

5.3 Tableau de variations complet

La double barre rappelle que $\ln$ n'est pas définie en $0$.

5.4 La courbe

• Elle passe par les points $(1\,;0)$ et $(\mathrm{e}\,;1)$.
• Sa tangente au point $(1\,;0)$ a pour équation $y = x - 1$.
• Sa tangente au point $(\mathrm{e}\,;1)$ a pour coefficient directeur $\ln'(\mathrm{e}) = \frac1{\mathrm{e}}$ et pour équation $y = 1 + \frac1{\mathrm{e}}(x - \mathrm{e})$, soit $y = \dfrac{x}{\mathrm{e}}$ : elle passe par l'origine.
• La fonction est concave : la courbe est en dessous de ses tangentes.
• Quelques valeurs : $\ln 2 \approx 0{,}69$, $\ln 5 \approx 1{,}61$, $\ln 10 \approx 2{,}30$, $\ln 0{,}5 \approx -0{,}69$.

5.5 Lien avec la courbe de l'exponentielle

Propriété. Dans un repère orthonormé, les courbes des fonctions $\exp$ et $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$.

Pourquoi. Pour tout réel $a$ et tout réel $b > 0$ : $M(a\,;b) \text{ est sur la courbe de } \exp \iff b = \mathrm{e}^a \iff a = \ln b \iff M'(b\,;a) \text{ est sur la courbe de } \ln.$ Or le point $M'(b\,;a)$ est le symétrique de $M(a\,;b)$ par rapport à la droite $y = x$.

Le programme demande de s'appuyer sur ces « images mentales » : il suffit de connaître la courbe de l'exponentielle et de la retourner autour de la droite $y = x$. Les deux inégalités $\mathrm{e}^x \geq x + 1$ (chapitre 4) et $\ln x \leq x - 1$ (leçon 4) se correspondent aussi par cette symétrie.

5.6 Limites de fonctions composées

On pose $X = u(x)$, comme au chapitre 4.

Exemple 21. $f(x) = \ln(x - 2)$ sur $]2\,;+\infty[$.

• Quand $x \to 2^+$, $X = x - 2 \to 0^+$ et $\ln X \to -\infty$ : $\lim\limits_{x\to2^+} f(x) = -\infty$. La droite $x = 2$ est asymptote verticale.
• Quand $x \to +\infty$, $X \to +\infty$ et $\ln X \to +\infty$ : $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$.

Exemple 22. $g(x) = x + \ln x$ sur $]0\,;+\infty[$. En $0^+$ : $x \to 0$ et $\ln x \to -\infty$, donc par somme $g(x) \to -\infty$. En $+\infty$ : $g(x) \to +\infty$ par somme.

Exemple 23. $h(x) = \ln\left(1 + \dfrac1x\right)$ sur $]0\,;+\infty[$. Quand $x \to +\infty$, $X = 1 + \frac1x \to 1$, et $\ln X \to \ln 1 = 0$ ($\ln$ est continue en $1$, car dérivable) : $\lim\limits_{x\to+\infty} h(x) = 0$.