Récurrence et inégalités, l'inégalité de Bernoulli

4.1 Trois règles pour les inégalités

Dans l'hérédité d'une inégalité, trois règles servent sans arrêt. Pour tous réels $a$, $b$, $c$ et $k$ :

1. Ajouter : si $a \geq b$, alors $a + c \geq b + c$.
2. Multiplier par un nombre strictement positif : si $a \geq b$ et $k > 0$, alors $ka \geq kb$. Attention : si $k < 0$, le sens change, $ka \leq kb$.
3. Avancer par étapes : si $a \geq b$ et $b \geq c$, alors $a \geq c$.

4.2 L'inégalité de Bernoulli

C'est une démonstration du programme. Elle servira au chapitre 2 pour étudier le comportement de $q^n$.

Propriété (inégalité de Bernoulli). Soit $a$ un réel strictement positif. Pour tout entier naturel $n$, $(1 + a)^n \geq 1 + na.$

Démonstration. Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $\mathcal{P}(n)$ : « $(1 + a)^n \geq 1 + na$ ».

Initialisation. $(1 + a)^0 = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $(1 + a)^n \geq 1 + na$. On multiplie les deux membres par $1 + a$, qui est strictement positif : le sens ne change pas. $(1 + a)^{n+1} \geq (1 + na)(1 + a) = 1 + a + na + na^2 = 1 + (n+1)a + na^2.$ Or $na^2 \geq 0$, donc $1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a$. Par étapes, $(1 + a)^{n+1} \geq 1 + (n+1)a$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $(1 + a)^n \geq 1 + na$.

Remarques.

• L'inégalité reste vraie pour $a = 0$ (c'est alors une égalité), et même pour $-1 \leq a < 0$ : la démonstration n'utilise que $1 + a \geq 0$.
• Sur un graphique avec $a = 0{,}5$ : les points $(n\,;1 + 0{,}5n)$ sont alignés, les points $(n\,;1{,}5^n)$ montent de plus en plus vite et ne passent jamais en dessous. Il y a égalité pour $n = 0$ et $n = 1$.

4.3 Une lecture concrète

Exemple 10. $1\,000$ € placés à $3\,\%$ par an à intérêts composés deviennent $C_n = 1\,000 \times 1{,}03^n$ (exemple 2). Avec $a = 0{,}03$, l'inégalité de Bernoulli donne $C_n \geq 1\,000\,(1 + 0{,}03n) = 1\,000 + 30n.$ Un placement à intérêts composés rapporte donc au moins autant que le même placement à intérêts simples. Au bout de dix ans : environ $1\,344$ € contre $1\,300$ €.

4.4 Une inégalité vraie à partir d'un rang

L'initialisation se fait au premier rang où la propriété est demandée.

Exemple 11. Comparer $2^n$ et $n^2$.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$2^n$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$
$n^2$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$

L'inégalité $2^n \geq n^2$ est vraie pour $n = 0$, $1$, $2$, fausse pour $n = 3$, puis semble toujours vraie. Montrons que $2^n \geq n^2$ pour tout $n \geq 4$.

• Initialisation ($n = 4$) : $2^4 = 16 = 4^2$.
• Hérédité. Soit $n \geq 4$ tel que $2^n \geq n^2$. En multipliant par $2 > 0$ : $2^{n+1} \geq 2n^2$. Il reste à comparer $2n^2$ et $(n+1)^2$ : $2n^2 - (n + 1)^2 = n^2 - 2n - 1 = (n - 1)^2 - 2.$ Comme $n \geq 4$, $(n - 1)^2 \geq 9$, donc $(n - 1)^2 - 2 > 0$. Par étapes, $2^{n+1} \geq 2n^2 \geq (n + 1)^2$.
• Conclusion. Pour tout $n \geq 4$, $2^n \geq n^2$.