Équations et fonctions polynômes du second degré

Leçon 1 : Fonction carré et identités remarquables

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1.1 La fonction carré

La fonction carré est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. Sa courbe s'appelle une parabole.

• Pour tout réel $x$, $x^2 \geq 0$ : la courbe ne descend jamais sous l'axe des abscisses.
• $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$.
• Son minimum vaut $0$ et il est atteint en $0$.

1.2 L'équation $x^2 = k$

La droite horizontale d'ordonnée $k$ coupe la parabole en deux points, en un point ou en aucun point. L'équation $x^2 = k$ a donc :

Exemple 1. $x^2 = 9$ a pour solutions $3$ et $-3$. $x^2 = 5$ a pour solutions $\sqrt5$ et $-\sqrt5$. $x^2 = -4$ n'a pas de solution, car un carré n'est jamais négatif.

Ces trois cas reviendront à la leçon 6 : ce sont exactement ceux du discriminant.

1.3 Identité ou équation ?

Une égalité avec des lettres n'a pas toujours le même statut.

• Une identité est vraie pour toutes les valeurs des lettres : $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ est vraie pour tout réel $x$. Ici, $x$ est une variable.
• Une équation n'est vraie que pour certaines valeurs : $x^2 = 9$ n'est vraie que pour $3$ et $-3$. Ici, $x$ est une inconnue, dont on cherche les valeurs.
• Un paramètre est une lettre qui désigne un nombre fixé, comme $k$ dans $x^2 = k$, ou $a$, $b$, $c$ dans $ax^2 + bx + c$.

1.4 Les identités remarquables

Pour tous réels $a$ et $b$ : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.$

Lues de gauche à droite, elles servent à développer. Lues de droite à gauche, elles servent à factoriser.

Exemple 2 (développer).

• $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$
• $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$
• $(x - 5)(x + 5) = x^2 - 25$

Attention. $(x + 3)^2$ n'est pas égal à $x^2 + 9$ : il manque le double produit $6x$. Pour $x = 1$, on a $(x + 3)^2 = 16$ alors que $x^2 + 9 = 10$.

Exemple 3 (factoriser).

• $x^2 - 10x + 25$ : deux carrés, $x^2$ et $5^2$, et le double produit $2 \times x \times 5 = 10x$. Donc $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.
• $4x^2 + 12x + 9$ : les carrés de $2x$ et de $3$, et le double produit $2 \times 2x \times 3 = 12x$. Donc $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$.
• $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x - 4)(3x + 4)$.
• $x^2 - 5 = x^2 - \left(\sqrt5\right)^2 = \left(x - \sqrt5\right)\left(x + \sqrt5\right)$.
• $x^2 + 4$ est une somme de deux carrés : aucune identité remarquable ne la factorise.

Automatisme. Avant de développer, regarde si une identité remarquable s'applique. Avant de factoriser, cherche d'abord un facteur commun : $3x^2 - 5x = x(3x - 5)$.

Leçon 2 : Forme factorisée et racines

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2.1 Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c,$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels et $a \neq 0$. Cette écriture s'appelle la forme développée. La courbe de $f$ est une parabole, tournée vers le haut si $a > 0$ et vers le bas si $a < 0$.

Exemple 4. $2x^2 - 3x + 1$ et $-x^2 + 4$ (ici $b = 0$) sont du second degré. $5x + 1$ ne l'est pas, car le coefficient de $x^2$ est nul.

2.2 Forme factorisée

La fonction définie par $f(x) = 2(x - 1)(x - 3)$ est du second degré : en développant, on obtient $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$. On dit qu'elle est donnée sous forme factorisée : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2).$

2.3 Racines

Une racine de $f$ est un nombre qui annule $f$ : c'est une solution de l'équation $f(x) = 0$. Sur le graphique, les racines sont les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des abscisses.

Automatisme (équation produit nul). Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

Si $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ avec $a \neq 0$, les racines de $f$ sont $x_1$ et $x_2$.

Exemple 5.

• $f(x) = 2(x - 1)(x - 3)$ : racines $1$ et $3$.
• $(2x + 1)(x - 3) = 0$ équivaut à $2x + 1 = 0$ ou $x - 3 = 0$ : racines $-\dfrac12$ et $3$.
• $x(x + 4)$ : racines $0$ et $-4$.
• $-3(x + 1)(x - 5)$ : racines $-1$ et $5$. Attention au signe : dans $x + 1$, la racine est $-1$.

2.4 Toutes les fonctions qui s'annulent en deux nombres donnés

Propriété. Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels distincts. Les fonctions polynômes du second degré qui s'annulent en $x_1$ et en $x_2$ sont exactement les fonctions $x \mapsto a(x - x_1)(x - x_2), \quad \text{avec } a \neq 0.$

Pourquoi ? Ces fonctions conviennent, on vient de le voir. Inversement, soit $f$ une fonction du second degré, de coefficient $a$ devant $x^2$, qui s'annule en $x_1$ et en $x_2$. Posons $g(x) = f(x) - a(x - x_1)(x - x_2)$. Les termes en $x^2$ se simplifient : $g$ est une fonction affine (ou constante), et elle s'annule en deux nombres distincts. Sa courbe est une droite qui coupe l'axe des abscisses en deux points : c'est l'axe lui-même. Donc $g$ est la fonction nulle, et $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Les fonctions qui s'annulent en $x_1$ et $x_2$ dépendent donc d'un paramètre $a$. Il suffit d'une information de plus pour le trouver.

Exemple 6. Cherchons la fonction du second degré qui s'annule en $-1$ et en $3$ et qui vaut $-6$ en $0$. On a $f(x) = a(x + 1)(x - 3)$, et $f(0) = a \times 1 \times (-3) = -3a$. L'équation $-3a = -6$ donne $a = 2$. Donc $f(x) = 2(x + 1)(x - 3)$.

Exemple 7 (une passerelle). L'arc d'une passerelle a la forme d'une parabole. Ses pieds sont distants de $8$ mètres et sa hauteur au milieu est de $6$ mètres. On place l'origine sur un pied : la hauteur $h$, en mètres, s'annule en $0$ et en $8$, donc $h(x) = a\,x(x - 8)$. Au milieu, $h(4) = a \times 4 \times (-4) = -16a = 6$, d'où $a = -\dfrac38$.

Ainsi $h(x) = -\dfrac38\,x(x - 8)$. À $2$ mètres du pied, $h(2) = -\dfrac38 \times 2 \times (-6) = \dfrac{36}{8} = 4{,}5$ mètres.

Leçon 3 : Signe d'un polynôme sous forme factorisée

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 Signe d'une expression du premier degré

L'expression $mx + p$, avec $m \neq 0$, s'annule en $-\dfrac{p}{m}$. À droite de cette valeur, elle a le signe de $m$ ; à gauche, le signe contraire.

Exemple 8.

• $2x - 6$ s'annule en $3$. Comme $2 > 0$, elle est négative avant $3$ et positive après.
• $-x + 4$ s'annule en $4$. Comme $-1 < 0$, elle est positive avant $4$ et négative après.

3.2 Tableau de signes d'un produit

Exemple 9. Étudions le signe de $f(x) = (x + 2)(x - 1)$. Les facteurs s'annulent en $-2$ et en $1$.

$x$	$-\infty$		$-2$		$1$		$+\infty$
$x + 2$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 1$		$-$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$f(x)$ est positif sur $]-\infty\,;-2[$ et sur $]1\,;+\infty[$, négatif sur $]-2\,;1[$. La courbe de $f$ est au-dessus de l'axe des abscisses avant $-2$ et après $1$, en dessous entre les deux.

Exemple 10. Soit $g(x) = -2(x + 1)(x - 3)$. Le facteur constant $-2$ est toujours négatif : il inverse les signes de $(x + 1)(x - 3)$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$3$		$+\infty$
$-2$		$-$		$-$		$-$
$x + 1$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 3$		$-$		$-$	$0$	$+$
$g(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

3.3 La règle

Propriété. Soit $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ avec $a \neq 0$ et $x_1 < x_2$. Alors :

• $f(x)$ a le signe de $a$ à l'extérieur des racines ;
• $f(x)$ a le signe contraire de $a$ entre les racines.

Exemple 11 (un atelier). Un atelier imprime des tee-shirts. Pour $x$ centaines de tee-shirts vendus, avec $0 \leq x \leq 14$, son bénéfice, en centaines d'euros, est $B(x) = -(x - 2)(x - 10)$.

Ici $a = -1$ et les racines sont $2$ et $10$. Donc $B(x) > 0$ entre les racines : l'atelier gagne de l'argent pour $x \in\ ]2\,;10[$, soit entre $200$ et $1000$ tee-shirts. En dessous, il ne couvre pas ses frais. Au-delà, le modèle indique que ses frais dépassent ses recettes.

Automatisme. Le signe d'une expression factorisée du second degré se donne de tête : on lit $a$ et les deux racines, puis on applique la règle.

Leçon 4 : Somme et produit des racines

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Les deux formules

Propriété. Si $f(x) = ax^2 + bx + c$ a pour racines $x_1$ et $x_2$, alors $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad \text{et} \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.$

Démonstration. On a $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$. En développant : $f(x) = ax^2 - a(x_1 + x_2)\,x + a\,x_1 x_2.$ Deux expressions du second degré égales pour tout réel $x$ ont les mêmes coefficients (on l'admet). Donc $b = -a(x_1 + x_2)$ et $c = a\,x_1 x_2$, d'où les formules, en divisant par $a$, qui n'est pas nul.

4.2 Trouver les racines de tête

Quand $a = 1$, la somme des racines vaut $-b$ et leur produit vaut $c$.

Exemple 12.

• $x^2 - 5x + 6$ : somme $5$, produit $6$. Les racines sont $2$ et $3$, donc $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.
• $x^2 + x - 12$ : somme $-1$, produit $-12$. Le produit est négatif, donc les racines sont de signes contraires : $3$ et $-4$. Ainsi $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$.
• $x^2 + 8x + 15$ : somme $-8$, produit $15$. Les racines sont $-3$ et $-5$, donc $x^2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)$.

4.3 Racine évidente

Si $a \neq 1$, on cherche une racine évidente : on teste $1$, puis $-1$, parfois $2$ ou $-2$. Le produit des racines donne ensuite l'autre.

Exemple 13.

• $f(x) = 2x^2 + 3x - 5$. On a $f(1) = 2 + 3 - 5 = 0$ : $1$ est racine. Le produit des racines vaut $-\dfrac52$, donc l'autre racine est $-\dfrac52$. Ainsi $f(x) = 2(x - 1)\left(x + \dfrac52\right) = (x - 1)(2x + 5)$.
• $g(x) = 3x^2 + 5x + 2$. On a $g(-1) = 3 - 5 + 2 = 0$ : $-1$ est racine. Le produit vaut $\dfrac23$, donc l'autre racine est $-\dfrac23$. Ainsi $g(x) = (x + 1)(3x + 2)$.

4.4 Les factorisations directes

Si rien de tout cela ne fonctionne, il reste la formule générale de la leçon 6. Et certaines expressions ne se factorisent pas : $x^2 + 4$ n'a aucune racine, car $x^2 + 4 \geq 4$ pour tout réel $x$.

Leçon 5 : Forme canonique

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5.1 Compléter le carré

Regardons $x^2 + 6x$ comme une aire : un carré de côté $x$, plus deux rectangles de dimensions $x$ et $3$. En les plaçant de chaque côté du carré, il ne manque qu'un coin, un petit carré d'aire $9$, pour former un grand carré de côté $x + 3$. Donc $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9.$

Méthode de complétion du carré. Pour tous réels $x$ et $k$ : $x^2 + 2kx = (x + k)^2 - k^2.$ En pratique, on prend la moitié du coefficient de $x$.

Exemple 14.

• $x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$.
• $x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3$.

Si le coefficient de $x^2$ n'est pas $1$, on le met d'abord en facteur dans les deux premiers termes.

Exemple 15.

• $2x^2 - 12x + 10 = 2\left(x^2 - 6x\right) + 10 = 2\left[(x - 3)^2 - 9\right] + 10 = 2(x - 3)^2 - 8$.
• $-x^2 + 6x - 4 = -\left(x^2 - 6x\right) - 4 = -\left[(x - 3)^2 - 9\right] - 4 = -(x - 3)^2 + 5$.

5.2 Forme canonique

Propriété. Toute fonction polynôme du second degré admet une forme canonique : $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta,$ où $a$ est le coefficient de $x^2$, et $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels.

Le calcul dans le cas général est fait une seule fois, à la leçon 6. En exercice, on la détermine sur des expressions numériques simples.

La forme canonique permet de résoudre une équation :

Exemple 16. $x^2 + 6x + 5 = 0$ équivaut à $(x + 3)^2 = 4$, soit $x + 3 = 2$ ou $x + 3 = -2$. Les solutions sont $-1$ et $-5$.

5.3 Position de la courbe

Propriété. Soit $m$ un réel. La courbe de $x \mapsto f(x - m)$ s'obtient en décalant la courbe de $f$ de $m$ unités horizontalement : vers la droite si $m > 0$, vers la gauche si $m < 0$.

En effet, la valeur prise par $f$ en un nombre $u$ est prise par $x \mapsto f(x - m)$ en $x = u + m$.

La courbe de $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ est donc celle de $x \mapsto ax^2$, décalée de $\alpha$ horizontalement et de $\beta$ verticalement.

Exemple 17. La courbe de $x \mapsto (x - 3)^2$ est la parabole de la fonction carré décalée de $3$ vers la droite. Celle de $x \mapsto (x - 3)^2 - 4$ est décalée en plus de $4$ vers le bas.

5.4 Extrémum et variations

Un carré est positif ou nul. Si $f(x) = (x - 3)^2 - 4$, alors $f(x) \geq -4$ pour tout réel $x$, et $f(3) = -4$ : le minimum de $f$ vaut $-4$ et il est atteint en $3$.

Propriété. Soit $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$.

Le point de coordonnées $(\alpha\,;\beta)$ est le point le plus bas ou le plus haut de la parabole, et la droite verticale d'équation $x = \alpha$ est son axe de symétrie.

Exemple 18. Soit $f(x) = -(x - 3)^2 + 5$. Ici $a = -1 < 0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;3]$, décroissante sur $[3\,;+\infty[$, et son maximum vaut $5$, atteint en $3$.

5.5 Un peu d'histoire

On trouve chez Diophante, puis chez Al-Khwârizmî, des méthodes de résolution d'équations du second degré. Le travail novateur d'Al-Khwârizmî reste en partie lié à la tradition : il s'appuie sur des considérations géométriques équivalentes à la forme canonique, comme notre carré complété, sans notation algébrique développée et sans nombres négatifs. Nos formules sont l'aboutissement d'un long cheminement vers une écriture efficace et concise.

Leçon 6 : Discriminant et résolution de l'équation

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6.1 Le résultat

Définition. Le discriminant de $ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$) est le nombre $\Delta = b^2 - 4ac.$

Théorème. L'équation $ax^2 + bx + c = 0$, avec $a \neq 0$, a :

6.2 Démonstration

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. On applique la complétion du carré dans le cas général.

Étape 1 : mettre $a$ en facteur. Comme $a \neq 0$, $f(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right).$

Étape 2 : compléter le carré. La moitié de $\dfrac{b}{a}$ est $\dfrac{b}{2a}$, donc $x^2 + \dfrac{b}{a}x = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}$, et $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right].$

Étape 3 : réduire au même dénominateur. Comme $\dfrac{c}{a} = \dfrac{4ac}{4a^2}$, $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right] = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right].$

Étape 4 : raisonner par cas. Comme $a \neq 0$, on a les équivalences $f(x) = 0 \iff \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}.$ Le nombre $4a^2$ est strictement positif, donc le second membre a le signe de $\Delta$. C'est une équation du type $X^2 = k$ (leçon 1).

• Si $\Delta < 0$, un carré ne peut pas être égal à un nombre strictement négatif : il n'y a pas de solution.
• Si $\Delta = 0$, l'équation équivaut à $x + \dfrac{b}{2a} = 0$ : il y a une seule solution, $-\dfrac{b}{2a}$.
• Si $\Delta > 0$, l'équation équivaut à $x + \dfrac{b}{2a} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ ou $x + \dfrac{b}{2a} = -\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$, car les deux nombres $\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ ont pour carré $\dfrac{\Delta}{4a^2}$, que $a$ soit positif ou négatif. D'où les deux solutions $\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. $\blacksquare$

Cette démonstration montre aussi que la forme canonique existe toujours : on lit $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = -\dfrac{\Delta}{4a}$.

6.3 Trois exemples, trois cas

Exemple 19 ($\Delta > 0$). Résolvons $2x^2 - 3x - 2 = 0$. Ici $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$. $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25.$ Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions : $x_1 = \dfrac{3 - 5}{4} = -\dfrac12$ et $x_2 = \dfrac{3 + 5}{4} = 2$.

Exemple 20 ($\Delta = 0$). Résolvons $9x^2 - 12x + 4 = 0$. $\Delta = 144 - 144 = 0$. Il y a une seule solution : $x_0 = \dfrac{12}{18} = \dfrac23$.

Exemple 21 ($\Delta < 0$). Résolvons $x^2 + x + 1 = 0$. $\Delta = 1 - 4 = -3$. Comme $\Delta < 0$, il n'y a pas de solution.

Quand $\Delta$ n'est pas un carré parfait, on garde la valeur exacte.

Exemple 22. Résolvons $x^2 - 2x - 1 = 0$. $\Delta = 4 + 4 = 8$, et $\sqrt8 = 2\sqrt2$. Les solutions sont $\dfrac{2 - 2\sqrt2}{2} = 1 - \sqrt2$ et $\dfrac{2 + 2\sqrt2}{2} = 1 + \sqrt2$.

Attention. Si $b$ est négatif, $b^2$ reste positif : $(-3)^2 = 9$, et non $-9$. Et $-b$ devient positif : pour $b = -3$, $-b = 3$.

Leçon 7 : Factorisation et signe dans le cas général

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7.1 Factorisation

Propriété. Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.

• Si $\Delta > 0$, $f$ s'annule en deux nombres distincts : c'est la propriété de la leçon 2.
• Si $\Delta = 0$, l'écriture de la démonstration devient $f(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = a(x - x_0)^2$.
• Si $\Delta < 0$, $f$ n'a pas de racine, alors qu'un facteur du premier degré en donnerait une.

Exemple 23.

• $2x^2 - 3x - 2$ a pour racines $2$ et $-\dfrac12$ : $2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)\left(x + \dfrac12\right) = (x - 2)(2x + 1)$.
• $9x^2 - 12x + 4$ a pour seule racine $\dfrac23$ : $9x^2 - 12x + 4 = 9\left(x - \dfrac23\right)^2 = (3x - 2)^2$.
• $x^2 + x + 1$ a un discriminant négatif : pas de factorisation.

Attention. N'oublie pas le coefficient $a$ devant les parenthèses : $2x^2 - 3x - 2$ n'est pas égal à $(x - 2)\left(x + \dfrac12\right)$.

7.2 Signe

Théorème. Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.

Autrement dit : $f(x)$ a le signe de $a$, sauf entre les racines.

Pourquoi ? Si $\Delta > 0$, c'est la règle de la leçon 3. Si $\Delta = 0$, $f(x) = a(x - x_0)^2$ et un carré est positif. Si $\Delta < 0$, on écrit $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{-\Delta}{4a^2}\right] :$ le crochet est la somme d'un carré et d'un nombre strictement positif, il est donc strictement positif, et $f(x)$ a le signe de $a$.

Exemple 24. Étudions le signe de $f(x) = -2x^2 + 3x + 2$. $\Delta = 9 + 16 = 25$. Les racines sont $\dfrac{-3 + 5}{-4} = -\dfrac12$ et $\dfrac{-3 - 5}{-4} = 2$. Comme $a = -2 < 0$ :

$x$	$-\infty$		$-\frac12$		$2$		$+\infty$
$f(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Exemple 25. $g(x) = -x^2 + x - 1$. $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ et $a = -1 < 0$ : $g(x) < 0$ pour tout réel $x$.

Leçon 8 : Inéquations du second degré

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8.1 La méthode

1. Ramener tout d'un même côté, pour comparer une expression à $0$.
2. Chercher les racines (factorisation directe ou discriminant).
3. Étudier le signe avec le signe de $a$.
4. Conclure en écrivant les solutions avec des intervalles. Une inégalité large ($\leq$ ou $\geq$) garde les racines, une inégalité stricte les exclut.

Exemple 26. Résolvons $x^2 - x - 6 \leq 0$. Deux nombres de somme $1$ et de produit $-6$ : les racines sont $-2$ et $3$. Comme $a = 1 > 0$, l'expression est négative entre les racines. L'ensemble des solutions est $S = [-2\,;3]$.

Exemple 27 (une parabole et une droite). Pour quelles valeurs de $x$ la parabole d'équation $y = 2x^2$ est-elle au-dessus de la droite d'équation $y = x + 3$ ?

On résout $2x^2 > x + 3$, soit $2x^2 - x - 3 > 0$. $\Delta = 1 + 24 = 25$. Les racines sont $\dfrac{1 - 5}{4} = -1$ et $\dfrac{1 + 5}{4} = \dfrac32$. Comme $a = 2 > 0$, l'expression est positive à l'extérieur des racines : $S = \ ]-\infty\,;-1[\ \cup\ \left]\frac32\,;+\infty\right[.$

8.2 Quand il n'y a pas deux racines

Exemple 28. Pour $x^2 + x + 1$, $\Delta = -3 < 0$ et $a > 0$ : l'expression est strictement positive pour tout réel $x$.

• $x^2 + x + 1 > 0$ a pour ensemble de solutions $S = \mathbb{R}$.
• $x^2 + x + 1 \leq 0$ n'a aucune solution : $S = \varnothing$.

Exemple 29. $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.

• $x^2 - 6x + 9 \leq 0$ : un carré n'est négatif ou nul que s'il est nul, donc $S = \{3\}$.
• $x^2 - 6x + 9 > 0$ : $S = \mathbb{R} \setminus \{3\} = \ ]-\infty\,;3[\ \cup\ ]3\,;+\infty[$.

8.3 Deux pièges

Piège 1 : prendre la racine carrée trop vite. $x^2 > 4$ ne veut pas dire $x > 2$ : le nombre $-3$ convient aussi. On écrit $x^2 - 4 > 0$, soit $(x - 2)(x + 2) > 0$, et les solutions sont à l'extérieur des racines : $S = \ ]-\infty\,;-2[\ \cup\ ]2\,;+\infty[$.

Piège 2 : diviser par $x$. Pour $x^2 \geq 3x$, on ne peut pas diviser par $x$, qui peut être négatif ou nul. On écrit $x^2 - 3x \geq 0$, soit $x(x - 3) \geq 0$, et $S = \ ]-\infty\,;0]\ \cup\ [3\,;+\infty[$. En divisant par $x$, on aurait perdu les nombres négatifs et $0$.

Leçon 9 : Choisir la forme adaptée

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9.1 Trois écritures, trois usages

La même fonction s'écrit $f(x) = \underbrace{2x^2 - 8x + 6}_{\text{développée}} = \underbrace{2(x - 2)^2 - 2}_{\text{canonique}} = \underbrace{2(x - 1)(x - 3)}_{\text{factorisée}}.$

9.2 Un problème d'optimisation

Exemple 30 (un potager). Avec $40$ mètres de grillage, on veut fermer un potager rectangulaire le long d'un mur, qui remplace un des côtés. On note $x$ la largeur, en mètres, perpendiculaire au mur. Le côté parallèle au mur mesure $40 - 2x$, avec $0 < x < 20$, et l'aire, en mètres carrés, est $A(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x.$

Aire maximale. On veut un extrémum : on cherche la forme canonique. $A(x) = -2\left(x^2 - 20x\right) = -2\left[(x - 10)^2 - 100\right] = -2(x - 10)^2 + 200.$ Comme $a = -2 < 0$, l'aire est maximale pour $x = 10$. Le potager mesure alors $10$ mètres sur $20$ mètres, pour une aire de $200$ mètres carrés.

Aire d'au moins $150$ mètres carrés. On résout $-2x^2 + 40x \geq 150$, soit, en divisant par $-2$, ce qui change le sens de l'inégalité, $x^2 - 20x + 75 \leq 0$. Deux nombres de somme $20$ et de produit $75$ : $5$ et $15$. Comme $a = 1 > 0$, l'expression est négative entre les racines : la largeur doit être comprise entre $5$ et $15$ mètres.