Forme factorisée et racines

2.1 Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c,$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels et $a \neq 0$. Cette écriture s'appelle la forme développée. La courbe de $f$ est une parabole, tournée vers le haut si $a > 0$ et vers le bas si $a < 0$.

Exemple 4. $2x^2 - 3x + 1$ et $-x^2 + 4$ (ici $b = 0$) sont du second degré. $5x + 1$ ne l'est pas, car le coefficient de $x^2$ est nul.

2.2 Forme factorisée

La fonction définie par $f(x) = 2(x - 1)(x - 3)$ est du second degré : en développant, on obtient $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$. On dit qu'elle est donnée sous forme factorisée : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2).$

2.3 Racines

Une racine de $f$ est un nombre qui annule $f$ : c'est une solution de l'équation $f(x) = 0$. Sur le graphique, les racines sont les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des abscisses.

Automatisme (équation produit nul). Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

Si $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ avec $a \neq 0$, les racines de $f$ sont $x_1$ et $x_2$.

Exemple 5.

• $f(x) = 2(x - 1)(x - 3)$ : racines $1$ et $3$.
• $(2x + 1)(x - 3) = 0$ équivaut à $2x + 1 = 0$ ou $x - 3 = 0$ : racines $-\dfrac12$ et $3$.
• $x(x + 4)$ : racines $0$ et $-4$.
• $-3(x + 1)(x - 5)$ : racines $-1$ et $5$. Attention au signe : dans $x + 1$, la racine est $-1$.

2.4 Toutes les fonctions qui s'annulent en deux nombres donnés

Propriété. Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels distincts. Les fonctions polynômes du second degré qui s'annulent en $x_1$ et en $x_2$ sont exactement les fonctions $x \mapsto a(x - x_1)(x - x_2), \quad \text{avec } a \neq 0.$

Pourquoi ? Ces fonctions conviennent, on vient de le voir. Inversement, soit $f$ une fonction du second degré, de coefficient $a$ devant $x^2$, qui s'annule en $x_1$ et en $x_2$. Posons $g(x) = f(x) - a(x - x_1)(x - x_2)$. Les termes en $x^2$ se simplifient : $g$ est une fonction affine (ou constante), et elle s'annule en deux nombres distincts. Sa courbe est une droite qui coupe l'axe des abscisses en deux points : c'est l'axe lui-même. Donc $g$ est la fonction nulle, et $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Les fonctions qui s'annulent en $x_1$ et $x_2$ dépendent donc d'un paramètre $a$. Il suffit d'une information de plus pour le trouver.

Exemple 6. Cherchons la fonction du second degré qui s'annule en $-1$ et en $3$ et qui vaut $-6$ en $0$. On a $f(x) = a(x + 1)(x - 3)$, et $f(0) = a \times 1 \times (-3) = -3a$. L'équation $-3a = -6$ donne $a = 2$. Donc $f(x) = 2(x + 1)(x - 3)$.

Exemple 7 (une passerelle). L'arc d'une passerelle a la forme d'une parabole. Ses pieds sont distants de $8$ mètres et sa hauteur au milieu est de $6$ mètres. On place l'origine sur un pied : la hauteur $h$, en mètres, s'annule en $0$ et en $8$, donc $h(x) = a\,x(x - 8)$. Au milieu, $h(4) = a \times 4 \times (-4) = -16a = 6$, d'où $a = -\dfrac38$.

Ainsi $h(x) = -\dfrac38\,x(x - 8)$. À $2$ mètres du pied, $h(2) = -\dfrac38 \times 2 \times (-6) = \dfrac{36}{8} = 4{,}5$ mètres.