Factorisation et signe dans le cas général

7.1 Factorisation

Propriété. Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.

• Si $\Delta > 0$, $f$ s'annule en deux nombres distincts : c'est la propriété de la leçon 2.
• Si $\Delta = 0$, l'écriture de la démonstration devient $f(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = a(x - x_0)^2$.
• Si $\Delta < 0$, $f$ n'a pas de racine, alors qu'un facteur du premier degré en donnerait une.

Exemple 23.

• $2x^2 - 3x - 2$ a pour racines $2$ et $-\dfrac12$ : $2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)\left(x + \dfrac12\right) = (x - 2)(2x + 1)$.
• $9x^2 - 12x + 4$ a pour seule racine $\dfrac23$ : $9x^2 - 12x + 4 = 9\left(x - \dfrac23\right)^2 = (3x - 2)^2$.
• $x^2 + x + 1$ a un discriminant négatif : pas de factorisation.

Attention. N'oublie pas le coefficient $a$ devant les parenthèses : $2x^2 - 3x - 2$ n'est pas égal à $(x - 2)\left(x + \dfrac12\right)$.

7.2 Signe

Théorème. Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.

Autrement dit : $f(x)$ a le signe de $a$, sauf entre les racines.

Pourquoi ? Si $\Delta > 0$, c'est la règle de la leçon 3. Si $\Delta = 0$, $f(x) = a(x - x_0)^2$ et un carré est positif. Si $\Delta < 0$, on écrit $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{-\Delta}{4a^2}\right] :$ le crochet est la somme d'un carré et d'un nombre strictement positif, il est donc strictement positif, et $f(x)$ a le signe de $a$.

Exemple 24. Étudions le signe de $f(x) = -2x^2 + 3x + 2$. $\Delta = 9 + 16 = 25$. Les racines sont $\dfrac{-3 + 5}{-4} = -\dfrac12$ et $\dfrac{-3 - 5}{-4} = 2$. Comme $a = -2 < 0$ :

$x$	$-\infty$		$-\frac12$		$2$		$+\infty$
$f(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Exemple 25. $g(x) = -x^2 + x - 1$. $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ et $a = -1 < 0$ : $g(x) < 0$ pour tout réel $x$.