Suites arithmétiques et géométriques

Leçon 1 : Suites arithmétiques

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1.1 Ajouter toujours le même nombre

Un jeune bambou mesure $40$ cm. Chaque jour, il grandit de $5$ cm. On note $u_n$ sa hauteur, en centimètres, au bout de $n$ jours.

Pour passer d'un terme au suivant, on ajoute toujours $5$ : pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + 5$.

1.2 Définition

Définition. Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + r.$ Le nombre $r$ s'appelle la raison de la suite.

L'ordre des mots compte : c'est le même réel $r$ pour tous les rangs. La raison peut être positive, négative ou nulle. Elle ne suffit pas à définir la suite : il faut aussi connaître un terme, par exemple le premier.

1.3 Reconnaître une suite arithmétique

On calcule la différence $u_{n+1} - u_n$. Si elle ne dépend pas de $n$, la suite est arithmétique, et cette différence est sa raison.

Exemple 1. Soit $u_n = 3n + 7$. Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_n = 3(n + 1) + 7 - (3n + 7) = 3n + 3 + 7 - 3n - 7 = 3.$ La suite est arithmétique, de raison $3$ et de premier terme $u_0 = 7$.

Exemple 2. Soit $a_n = \dfrac{5 - 2n}{4}$. Alors $a_{n+1} - a_n = \dfrac{5 - 2(n + 1) - 5 + 2n}{4} = -\dfrac12$. La suite est arithmétique, de raison $-\dfrac12$.

1.4 Montrer qu'une suite n'est pas arithmétique

Un contre-exemple suffit : il faut trouver deux différences qui ne sont pas égales.

Exemple 3. Soit $v_n = n^2$. On a $v_0 = 0$, $v_1 = 1$ et $v_2 = 4$. Donc $v_1 - v_0 = 1$ et $v_2 - v_1 = 3$. Ces différences ne sont pas égales : la suite n'est pas arithmétique.

Attention. L'inverse est faux : pour prouver qu'une suite est arithmétique, regarder ses premiers termes ne suffit pas. Il faut un calcul valable pour tout entier naturel $n$, comme dans l'exemple 1.

1.5 Avec une relation de récurrence

Si la relation est de la forme $w_{n+1} = w_n + r$, on lit directement la raison.

Exemple 4. Si $w_{n+1} = w_n - 4$, la suite est arithmétique, de raison $-4$.

Si $t_0 = 1$ et $t_{n+1} = 2t_n + 1$, on obtient $t_1 = 3$ et $t_2 = 7$. Les différences valent $2$, puis $4$ : la suite n'est pas arithmétique.

1.6 Évolutions à accroissements constants

Une suite arithmétique décrit une évolution à accroissements constants : la grandeur change de la même quantité à chaque étape.

Exemple 5 (une bougie). Une bougie mesure $18$ cm et perd $1{,}5$ cm par heure. Sa hauteur $h_n$ au bout de $n$ heures est une suite arithmétique de premier terme $h_0 = 18$ et de raison $-1{,}5$. On trouve $h_1 = 16{,}5$, $h_2 = 15$ et $h_3 = 13{,}5$. La raison est négative parce que la grandeur diminue.

Leçon 2 : Terme général d'une suite arithmétique

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2.1 La formule

Propriété. Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n = u_0 + nr.$

Démonstration. On a $u_1 = u_0 + r$, puis $u_2 = u_1 + r = u_0 + 2r$, puis $u_3 = u_0 + 3r$ : pour atteindre le rang $n$, on ajoute $n$ fois $r$. Pour le rédiger, on écrit les $n$ égalités $u_1 - u_0 = r, \quad u_2 - u_1 = r, \quad \ldots, \quad u_n - u_{n-1} = r,$ et on les additionne. À gauche, $u_1$ et $-u_1$, $u_2$ et $-u_2$, et ainsi de suite, s'annulent deux à deux : il reste $u_n - u_0$. À droite, on trouve $nr$. Donc $u_n - u_0 = nr$, c'est-à-dire $u_n = u_0 + nr$.

2.2 À partir d'un autre rang

Entre les rangs $p$ et $n$, il y a $n - p$ étapes. Pour tous entiers naturels $n$ et $p$, $u_n = u_p + (n - p)\,r.$ En particulier, si le premier terme est $u_1$, alors $u_n = u_1 + (n - 1)\,r$.

Exemple 6. On sait que $u_5 = 17$ et $u_{12} = 38$. Alors $u_{12} = u_5 + 7r$, donc $7r = 38 - 17 = 21$ et $r = 3$. Enfin, $u_0 = u_5 - 5r = 17 - 15 = 2$. Ainsi, $u_n = 2 + 3n$.

2.3 Un exemple : la température dans un forage

Dans le sous-sol, la température augmente d'environ $3$ °C tous les $100$ m. Elle vaut $12$ °C près de la surface. On note $T_n$ la température, en degrés Celsius, à $n \times 100$ mètres de profondeur.

Exemple 7. La suite $(T_n)$ est arithmétique, de premier terme $12$ et de raison $3$ : $T_n = 12 + 3n$.

• À $2\,000$ m, $n = 20$ et $T_{20} = 12 + 3 \times 20 = 72$. Il fait $72$ °C.
• On cherche la profondeur où il fait $90$ °C. On résout $12 + 3n = 90$, soit $3n = 78$ et $n = 26$. C'est à $2\,600$ m.

2.4 Lien avec les fonctions affines

La formule s'écrit $u_n = rn + u_0$ : le terme de rang $n$ est l'image de $n$ par la fonction affine $f(x) = rx + u_0$. On en déduit que :

• les points $(n\,;u_n)$ sont alignés ;
• la raison $r$ est le coefficient directeur de la droite ;
• le premier terme $u_0$ est son ordonnée à l'origine.

Inversement, si $u_n = an + b$ pour tout entier naturel $n$, la suite est arithmétique, de raison $a$.

Attention. La suite, ce sont les points isolés, pas la droite entière.

2.5 Sens de variation

Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_n = r$. Le signe de $r$ donne donc le sens de variation.

Exemple 8. Avec $r = 3 > 0$, la température du forage est strictement croissante. Avec $r = -1{,}5 < 0$, la hauteur de la bougie est strictement décroissante.

2.6 Limite éventuelle

Sur un graphique, les points montent ou descendent régulièrement, sans jamais s'arrêter.

• Si $r > 0$, les termes finissent par dépasser n'importe quel nombre : la suite semble tendre vers $+\infty$.
• Si $r < 0$, la suite semble tendre vers $-\infty$.

Ce sont des conjectures, comme au chapitre 2. Elles seront démontrées en Terminale.

Leçon 3 : Somme des entiers et somme de termes consécutifs

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3.1 L'idée en image

Un forestier empile des rondins : un au sommet, puis deux, puis trois, jusqu'à douze à la base. Pour les compter, regardons un cas plus petit, $S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5$.

Dessinons un escalier : $1$ rond dans la première colonne, $2$ dans la deuxième, jusqu'à $5$. Une copie de cet escalier, retournée d'un demi-tour, s'emboîte contre le premier. On obtient un rectangle de $5$ colonnes et $6$ lignes, soit $30$ ronds. Il contient deux fois $S$ : donc $2S = 30$ et $S = 15$.

3.2 La formule

Propriété. Pour tout entier naturel $n$ non nul, $1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}.$

Démonstration. Notons $S_n$ cette somme, et écrivons-la dans les deux sens. $S_n = 1 + 2 + \ldots + (n - 1) + n$ $S_n = n + (n - 1) + \ldots + 2 + 1$ Additionnons membre à membre, colonne par colonne. Chaque colonne vaut $n + 1$, et il y a $n$ colonnes. Donc $2S_n = n(n + 1)$, et $S_n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$.

Exemple 9.

• Pour les rondins : $1 + 2 + \ldots + 12 = \dfrac{12 \times 13}{2} = 78$.
• $1 + 2 + \ldots + 100 = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5\,050$.
• $1 + 2 + \ldots + 40 = \dfrac{40 \times 41}{2} = 820$.

Pour retenir la formule : on ajoute $n$ nombres, dont la moyenne vaut $\dfrac{n + 1}{2}$.

3.3 Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

Propriété. La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut $\text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}.$

Pourquoi ? C'est le même raisonnement : on écrit la somme à l'endroit et à l'envers. À chaque colonne, on ajoute $r$ d'un côté et on retire $r$ de l'autre : toutes les colonnes valent premier terme plus dernier terme.

Exemple 10 (des gradins). Une salle de spectacle a $15$ rangs. Le premier compte $20$ places, et chaque rang a $4$ places de plus que le précédent. Le nombre de places du rang $n$ est une suite arithmétique, de premier terme $u_1 = 20$ et de raison $4$. Le dernier rang compte $u_{15} = 20 + 14 \times 4 = 76$ places. La salle compte donc $\frac{15 \times (20 + 76)}{2} = \frac{15 \times 96}{2} = 720 \text{ places.}$

3.4 Compter les termes

Automatisme. De $u_p$ à $u_n$, il y a $n - p + 1$ termes. Par exemple, de $u_3$ à $u_{10}$, il y a $8$ termes, et non $7$. De $u_0$ à $u_n$, il y a $n + 1$ termes.

Exemple 11. Soit $S = 5 + 8 + 11 + \ldots + 62$. La raison vaut $3$. Comme $62 = 5 + 19 \times 3$, les rangs vont de $0$ à $19$ : il y a $20$ termes. Donc $S = \frac{20 \times (5 + 62)}{2} = 670.$

Leçon 4 : Suites géométriques

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4.1 Multiplier toujours par le même nombre

Une feuille de papier a une épaisseur de $0{,}1$ mm. Chaque pli double l'épaisseur. On note $e_n$ l'épaisseur, en millimètres, après $n$ plis.

Pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par $2$ : pour tout entier naturel $n$, $e_{n+1} = 2 \times e_n$.

4.2 Définition

Définition. Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = q \times u_n.$ Le nombre $q$ s'appelle la raison de la suite.

Dans ce chapitre, sauf mention contraire, $q$ et le premier terme ne sont pas nuls. Sinon, tous les termes sont nuls à partir d'un certain rang, et la suite ne présente pas d'intérêt.

4.3 Reconnaître une suite géométrique

Si les termes ne sont pas nuls, on calcule le rapport de deux termes consécutifs $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. S'il ne dépend pas de $n$, la suite est géométrique, et ce rapport est sa raison.

Exemple 12. Soit $u_n = 3 \times 2^n$. Tous les termes sont strictement positifs, et pour tout entier naturel $n$, $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \times 2^{n+1}}{3 \times 2^n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2.$ La suite est géométrique, de raison $2$ et de premier terme $u_0 = 3$.

Exemple 13. Soit $v_n = n^2 + 1$. On a $v_0 = 1$, $v_1 = 2$, $v_2 = 5$ et $v_3 = 10$. Comme $\dfrac{v_1}{v_0} = 2$ et $\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac52$, la suite n'est pas géométrique. Elle n'est pas arithmétique non plus : ses différences valent $1$, puis $3$. Beaucoup de suites n'appartiennent à aucune des deux familles.

4.4 Évolutions à taux constant

Automatisme. Augmenter de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$. Baisser de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$. Ce nombre est le coefficient multiplicateur.

À automatiser : une évolution à taux fixe est modélisée par une suite géométrique.

Exemple 14 (un loyer). Un loyer de $800$ € augmente de $2\,\%$ par an. Le loyer au bout de $n$ années est une suite géométrique de premier terme $L_0 = 800$ et de raison $1{,}02$. On trouve $L_1 = 816$ et $L_2 = 816 \times 1{,}02 = 832{,}32$.

Exemple 15 (un téléphone). Un téléphone de $600$ € perd $20\,\%$ de sa valeur par an. Sa valeur est une suite géométrique de premier terme $V_0 = 600$ et de raison $0{,}8$. On trouve $V_1 = 480$ et $V_2 = 384$.

4.5 Évolutions successives et taux réciproque

Quand les évolutions s'enchaînent, les pourcentages ne s'ajoutent pas : les coefficients se multiplient.

Automatisme (évolutions successives).

• Une hausse de $10\,\%$ suivie d'une baisse de $10\,\%$ : $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$. C'est une baisse de $1\,\%$.
• Deux hausses de $2\,\%$ : $1{,}02^2 = 1{,}0404$. C'est une hausse de $4{,}04\,\%$, et non de $4\,\%$.

Automatisme (taux réciproque). Après une hausse de $25\,\%$, on revient au départ en divisant par $1{,}25$, c'est-à-dire en multipliant par $\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$. Il faut donc une baisse de $20\,\%$, et non de $25\,\%$.

Automatisme (valeur initiale). Un prix vaut $96$ € après une hausse de $20\,\%$. Il valait $\dfrac{96}{1{,}2} = 80$ €.

Automatisme (calculer un taux). Une grandeur passe de $50$ à $65$. Le taux d'évolution vaut $\dfrac{65 - 50}{50} = 0{,}3$, soit une hausse de $30\,\%$.

Leçon 5 : Terme général d'une suite géométrique

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5.1 La formule

Propriété. Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n = u_0 \times q^n.$

Démonstration. On a $u_1 = q \times u_0$, puis $u_2 = q \times u_1 = q^2 \times u_0$, puis $u_3 = q^3 \times u_0$ : pour atteindre le rang $n$, on multiplie $n$ fois par $q$. Pour le rédiger, on écrit les $n$ égalités $\frac{u_1}{u_0} = q, \quad \frac{u_2}{u_1} = q, \quad \ldots, \quad \frac{u_n}{u_{n-1}} = q,$ et on les multiplie. À gauche, les termes intermédiaires se simplifient : il reste $\dfrac{u_n}{u_0}$. À droite, on trouve $q^n$. Donc $u_n = u_0 \times q^n$.

Exemple 16 (la feuille). $e_n = 0{,}1 \times 2^n$. Après dix plis, $e_{10} = 0{,}1 \times 1\,024 = 102{,}4$ mm, soit environ $10$ cm. Après quarante-deux plis, on trouverait $0{,}1 \times 2^{42}$ mm, soit environ $440\,000$ km. C'est plus que la distance de la Terre à la Lune, environ $385\,000$ km. Bien sûr, on ne peut pas plier une feuille autant de fois.

Automatisme. La puissance porte seulement sur $q$. On calcule d'abord la puissance : $3 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48$, et non $6^4$.

5.2 À partir d'un autre rang

Pour tous entiers naturels $n$ et $p$, $u_n = u_p \times q^{\,n-p}.$ En particulier, si le premier terme est $u_1$, alors $u_n = u_1 \times q^{\,n-1}$.

Exemple 17. On sait que $u_2 = 12$ et $u_5 = 96$, avec $q$ réel. Alors $u_5 = u_2 \times q^3$, soit $96 = 12 \times q^3$. Donc $q^3 = 8$ et $q = 2$. Enfin, $u_0 = \dfrac{u_2}{q^2} = \dfrac{12}{4} = 3$.

5.3 Sens de variation

Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_n = u_0 \times q^{n+1} - u_0 \times q^n = u_0 \times q^n \times (q - 1).$ Si $q > 0$, alors $q^n > 0$ : le signe de la différence est celui de $u_0 \times (q - 1)$.

Si $q < 0$, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n'est pas monotone.

Exemple 18.

• $3 \times 1{,}5^n$ est strictement croissante ($u_0 > 0$, $q > 1$).
• $8 \times 0{,}7^n$ est strictement décroissante ($u_0 > 0$, $0 < q < 1$).
• $-2 \times 3^n$ est strictement décroissante ($u_0 < 0$, $q > 1$).
• $(-2)^n$ vaut $1, -2, 4, -8, 16$ : elle n'est pas monotone.

5.4 Limite éventuelle

Sur des exemples, on observe trois comportements.

Ce sont des conjectures : elles seront démontrées en Terminale. Pour $q = 1$, la suite est constante.

Leçon 6 : Somme de termes d'une suite géométrique

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6.1 La formule

Propriété. Pour tout réel $q \neq 1$ et tout entier naturel $n$, $1 + q + q^2 + \ldots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.$

Démonstration. Notons $S = 1 + q + q^2 + \ldots + q^n$. En multipliant par $q$, chaque terme devient le suivant : $qS = q + q^2 + q^3 + \ldots + q^{n+1}.$ Soustrayons ces deux égalités. Tous les termes du milieu disparaissent : $S - qS = 1 - q^{\,n+1}, \quad \text{soit} \quad (1 - q)\,S = 1 - q^{\,n+1}.$ Comme $q \neq 1$, on peut diviser par $1 - q$, ce qui donne la formule.

Si $q = 1$, la formule n'a pas de sens, mais le calcul est simple : la somme vaut $n + 1$.

Automatisme. Dans la somme, il y a $n + 1$ termes, de $q^0 = 1$ à $q^n$. C'est ce nombre de termes que l'on retrouve en exposant.

Exemple 19. Avec $q = 3$ et $n = 5$ : $1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^5 = \frac{1 - 3^6}{1 - 3} = \frac{-728}{-2} = 364.$

Exemple 20. Avec $q = \dfrac12$ et $n = 3$ : $1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 = \frac{1 - \frac{1}{16}}{1 - \frac12} = \frac{15}{16} \times 2 = \frac{15}{8}.$

6.2 Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

Quand la somme ne commence pas à $1$, on met le premier terme en facteur.

Propriété. La somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q \neq 1$ vaut $\text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\,\text{nombre de termes}}}{1 - q}.$

Exemple 21 (les ancêtres). Sur dix générations, on compte $2$ parents, $4$ grands-parents, $8$ arrière-grands-parents, et ainsi de suite. Cela fait $A = 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{10} = 2\left(1 + 2 + \ldots + 2^9\right) = 2 \times \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 2 \times 1\,023 = 2\,046.$ Cette somme compte $10$ termes.

6.3 Une somme qui se stabilise

Pour tout entier naturel $n$, posons $S_n = 1 + \frac12 + \frac14 + \ldots + \left(\frac12\right)^n.$ La formule donne $S_n = \frac{1 - \left(\frac12\right)^{n+1}}{1 - \frac12} = 2 - \left(\frac12\right)^n.$ Comme $\left(\dfrac12\right)^n$ semble tendre vers $0$, la somme semble tendre vers $2$. On le voit sur un dessin : un carré d'aire $1$, puis, dans un second carré, la moitié, puis la moitié de ce qui reste, et ainsi de suite. On ne dépasse jamais les deux carrés.

6.4 Un peu d'histoire

Ces calculs sont anciens : au XIVe siècle, Oresme calculait déjà des sommes de termes de suites géométriques.

Leçon 7 : Modéliser : croissance linéaire ou exponentielle

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 Ajouter ou multiplier ?

La première question est : que reste-t-il constant ?

Sur un tableau de valeurs, on compare les différences, puis les rapports.

Exemple 22. Pour $200$, $230$, $260$, les différences valent $30$ : modèle arithmétique. Pour $200$, $220$, $242$, les rapports valent $1{,}1$ : modèle géométrique.

Automatisme. « Ajouter $30$ » est une formulation additive. « Multiplier par $1{,}1$ » est une formulation multiplicative. Une même évolution peut se dire des deux façons sur une seule étape : passer de $200$ à $220$, c'est ajouter $20$, ou multiplier par $1{,}1$.

7.2 Évolution et actualisation d'un capital

On place $5\,000$ € au taux annuel de $2\,\%$.

• Intérêts simples : chaque année, on ajoute $2\,\%$ du capital de départ, soit $100$ €. Le capital est $C_n = 5\,000 + 100n$ : suite arithmétique.
• Intérêts composés : les intérêts rapportent à leur tour. Chaque année, on multiplie par $1{,}02$. Le capital est $D_n = 5\,000 \times 1{,}02^n$ : suite géométrique.

Exemple 23 (actualiser). Actualiser, c'est remonter le temps. Pour disposer de $5\,202$ € dans deux ans à ce même taux, il faut placer aujourd'hui $\frac{5\,202}{1{,}02^2} = \frac{5\,202}{1{,}0404} = 5\,000,$ soit $5\,000$ €.

7.3 Évolution d'une population

Exemple 24 (des chamois). Dans un massif, on compte $400$ chamois, et on estime que leur nombre augmente de $10\,\%$ par an. Le taux est constant : $P_n = 400 \times 1{,}1^n$. On trouve $P_1 = 440$, $P_2 = 484$ et, avec $1{,}1^{10} \approx 2{,}594$, environ $1\,037$ chamois au bout de dix ans.

Un modèle a des limites : le massif ne pourra pas nourrir un nombre de chamois qui grandit sans fin.

7.4 Décroissance radioactive

Exemple 25 (l'iode 131). La quantité d'iode 131 est divisée par deux en huit jours environ. On part de $64$ mg, et on note $N_n$ la quantité au bout de $n$ périodes de huit jours. La suite est géométrique, de raison $\dfrac12$ : $N_n = 64 \times \left(\frac12\right)^n.$ Quarante jours font cinq périodes : $N_5 = 64 \times \dfrac{1}{32} = 2$. Il reste $2$ mg.

Attention. Ici, $n$ compte des périodes, pas des jours.

7.5 Deux croissances comparées

Soient $u_n = 20 + 10n$, une croissance linéaire, et $v_n = 2^n$, une croissance exponentielle.

Au début, $u_n$ est loin devant. Mais à partir du rang $7$, $v_n$ passe au-dessus. Une suite géométrique à termes positifs, de raison supérieure à $1$, finit toujours par dépasser une suite arithmétique, même si elle part de très bas. On admet ce résultat.

7.6 Le lien avec la fonction exponentielle

Pourquoi le mot exponentielle ? Parce que la variable $n$ est en exposant. Une suite géométrique décrit une évolution observée à intervalles réguliers : c'est le temps discret. Au chapitre 11, la fonction exponentielle décrira une évolution de ce type à chaque instant : c'est le temps continu.

7.7 La méthode

1. Définir la suite : que mesurent $n$ et $u_n$ ?
2. Regarder une étape : on ajoute, ou on multiplie ?
3. Écrire le premier terme, la raison et le terme général.
4. Répondre à la question, avec l'unité, puis juger le modèle.

Leçon 8 : Python : termes, sommes et factorielle

Voir la vidéo de la leçon 8

Les listes, les boucles et les fonctions ont été revues au chapitre 2. Ici, on les met au service des suites.

8.1 Calculer un terme

Pour une suite arithmétique, on part de $u_0$ et on ajoute $n$ fois la raison. En langage naturel, on écrit $u \leftarrow u + r$.

def terme_arith(u0, r, n):
    u = u0
    for k in range(n):
        u = u + r
    return u

>>> terme_arith(7, 3, 10)
37

On vérifie avec la formule : $u_{10} = 7 + 10 \times 3 = 37$.

Pour une suite géométrique, une seule ligne change : on multiplie au lieu d'ajouter.

def terme_geo(u0, q, n):
    u = u0
    for k in range(n):
        u = q * u
    return u

>>> terme_geo(3, 2, 5)
96
>>> 3 * 2**5
96

En Python, la puissance s'écrit **.

8.2 La liste des termes

>>> [7 + 3*n for n in range(6)]
[7, 10, 13, 16, 19, 22]
>>> [3 * 2**n for n in range(6)]
[3, 6, 12, 24, 48, 96]

8.3 Calculer une somme

Pour une somme, on utilise un accumulateur : une variable qui vaut $0$ au départ, et à laquelle on ajoute chaque terme.

def somme_entiers(n):
    s = 0
    for k in range(1, n + 1):
        s = s + k
    return s

>>> somme_entiers(100)
5050
>>> 100 * 101 // 2
5050

Attention. Dans range(1, n + 1), la borne de droite est exclue : $k$ va de $1$ à $n$. La division entière // donne un résultat entier.

8.4 Découper en fonctions

Un bon programme se découpe en petites fonctions, chacune chargée d'une seule tâche. C'est la programmation modulaire.

def termes(u0, q, n):
    return [u0 * q**k for k in range(n + 1)]

def somme(L):
    s = 0
    for x in L:
        s = s + x
    return s

>>> somme(termes(2, 3, 5))
728

C'est bien $2 \times \dfrac{1 - 3^6}{1 - 3} = 728$. La fonction somme resservira pour n'importe quelle liste.

8.5 La factorielle

Définition. Pour tout entier naturel $n$ non nul, la factorielle de $n$ est le produit des entiers de $1$ à $n$ : $n! = 1 \times 2 \times \ldots \times n.$ Par convention, $0! = 1$.

Exemple 26. $5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$.

def fact(n):
    p = 1
    for k in range(1, n + 1):
        p = p * k
    return p

>>> fact(5)
120
>>> fact(10)
3628800

Attention. Pour un produit, la variable vaut $1$ au départ, et non $0$ : sinon, le résultat serait toujours nul.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. Évolution à taux fixe : suite géométrique, de raison $1 + \dfrac{t}{100}$ ou $1 - \dfrac{t}{100}$.
2. Évolutions successives : les coefficients se multiplient, les pourcentages ne s'ajoutent pas.
3. Nombre de termes de $u_p$ à $u_n$ : $n - p + 1$.
4. Python : accumulateur à $0$ pour une somme, à $1$ pour un produit ; range(1, n + 1) pour aller de $1$ à $n$.

Rituel d'automatismes

Douze questions à réponses courtes, sans calculatrice, à faire en dix minutes environ : six sur ce chapitre, six sur des automatismes déjà travaillés. C'est le format de la première partie de l'épreuve anticipée. Télécharger le rituel du chapitre 3 (PDF, avec son corrigé).