Terme général d'une suite géométrique

5.1 La formule

Propriété. Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n = u_0 \times q^n.$

Démonstration. On a $u_1 = q \times u_0$, puis $u_2 = q \times u_1 = q^2 \times u_0$, puis $u_3 = q^3 \times u_0$ : pour atteindre le rang $n$, on multiplie $n$ fois par $q$. Pour le rédiger, on écrit les $n$ égalités $\frac{u_1}{u_0} = q, \quad \frac{u_2}{u_1} = q, \quad \ldots, \quad \frac{u_n}{u_{n-1}} = q,$ et on les multiplie. À gauche, les termes intermédiaires se simplifient : il reste $\dfrac{u_n}{u_0}$. À droite, on trouve $q^n$. Donc $u_n = u_0 \times q^n$.

Exemple 16 (la feuille). $e_n = 0{,}1 \times 2^n$. Après dix plis, $e_{10} = 0{,}1 \times 1\,024 = 102{,}4$ mm, soit environ $10$ cm. Après quarante-deux plis, on trouverait $0{,}1 \times 2^{42}$ mm, soit environ $440\,000$ km. C'est plus que la distance de la Terre à la Lune, environ $385\,000$ km. Bien sûr, on ne peut pas plier une feuille autant de fois.

Automatisme. La puissance porte seulement sur $q$. On calcule d'abord la puissance : $3 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48$, et non $6^4$.

5.2 À partir d'un autre rang

Pour tous entiers naturels $n$ et $p$, $u_n = u_p \times q^{\,n-p}.$ En particulier, si le premier terme est $u_1$, alors $u_n = u_1 \times q^{\,n-1}$.

Exemple 17. On sait que $u_2 = 12$ et $u_5 = 96$, avec $q$ réel. Alors $u_5 = u_2 \times q^3$, soit $96 = 12 \times q^3$. Donc $q^3 = 8$ et $q = 2$. Enfin, $u_0 = \dfrac{u_2}{q^2} = \dfrac{12}{4} = 3$.

5.3 Sens de variation

Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_n = u_0 \times q^{n+1} - u_0 \times q^n = u_0 \times q^n \times (q - 1).$ Si $q > 0$, alors $q^n > 0$ : le signe de la différence est celui de $u_0 \times (q - 1)$.

Si $q < 0$, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n'est pas monotone.

Exemple 18.

• $3 \times 1{,}5^n$ est strictement croissante ($u_0 > 0$, $q > 1$).
• $8 \times 0{,}7^n$ est strictement décroissante ($u_0 > 0$, $0 < q < 1$).
• $-2 \times 3^n$ est strictement décroissante ($u_0 < 0$, $q > 1$).
• $(-2)^n$ vaut $1, -2, 4, -8, 16$ : elle n'est pas monotone.

5.4 Limite éventuelle

Sur des exemples, on observe trois comportements.

Ce sont des conjectures : elles seront démontrées en Terminale. Pour $q = 1$, la suite est constante.