Terme général d'une suite arithmétique

2.1 La formule

Propriété. Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n = u_0 + nr.$

Démonstration. On a $u_1 = u_0 + r$, puis $u_2 = u_1 + r = u_0 + 2r$, puis $u_3 = u_0 + 3r$ : pour atteindre le rang $n$, on ajoute $n$ fois $r$. Pour le rédiger, on écrit les $n$ égalités $u_1 - u_0 = r, \quad u_2 - u_1 = r, \quad \ldots, \quad u_n - u_{n-1} = r,$ et on les additionne. À gauche, $u_1$ et $-u_1$, $u_2$ et $-u_2$, et ainsi de suite, s'annulent deux à deux : il reste $u_n - u_0$. À droite, on trouve $nr$. Donc $u_n - u_0 = nr$, c'est-à-dire $u_n = u_0 + nr$.

2.2 À partir d'un autre rang

Entre les rangs $p$ et $n$, il y a $n - p$ étapes. Pour tous entiers naturels $n$ et $p$, $u_n = u_p + (n - p)\,r.$ En particulier, si le premier terme est $u_1$, alors $u_n = u_1 + (n - 1)\,r$.

Exemple 6. On sait que $u_5 = 17$ et $u_{12} = 38$. Alors $u_{12} = u_5 + 7r$, donc $7r = 38 - 17 = 21$ et $r = 3$. Enfin, $u_0 = u_5 - 5r = 17 - 15 = 2$. Ainsi, $u_n = 2 + 3n$.

2.3 Un exemple : la température dans un forage

Dans le sous-sol, la température augmente d'environ $3$ °C tous les $100$ m. Elle vaut $12$ °C près de la surface. On note $T_n$ la température, en degrés Celsius, à $n \times 100$ mètres de profondeur.

Exemple 7. La suite $(T_n)$ est arithmétique, de premier terme $12$ et de raison $3$ : $T_n = 12 + 3n$.

• À $2\,000$ m, $n = 20$ et $T_{20} = 12 + 3 \times 20 = 72$. Il fait $72$ °C.
• On cherche la profondeur où il fait $90$ °C. On résout $12 + 3n = 90$, soit $3n = 78$ et $n = 26$. C'est à $2\,600$ m.

2.4 Lien avec les fonctions affines

La formule s'écrit $u_n = rn + u_0$ : le terme de rang $n$ est l'image de $n$ par la fonction affine $f(x) = rx + u_0$. On en déduit que :

• les points $(n\,;u_n)$ sont alignés ;
• la raison $r$ est le coefficient directeur de la droite ;
• le premier terme $u_0$ est son ordonnée à l'origine.

Inversement, si $u_n = an + b$ pour tout entier naturel $n$, la suite est arithmétique, de raison $a$.

Attention. La suite, ce sont les points isolés, pas la droite entière.

2.5 Sens de variation

Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_n = r$. Le signe de $r$ donne donc le sens de variation.

Exemple 8. Avec $r = 3 > 0$, la température du forage est strictement croissante. Avec $r = -1{,}5 < 0$, la hauteur de la bougie est strictement décroissante.

2.6 Limite éventuelle

Sur un graphique, les points montent ou descendent régulièrement, sans jamais s'arrêter.

• Si $r > 0$, les termes finissent par dépasser n'importe quel nombre : la suite semble tendre vers $+\infty$.
• Si $r < 0$, la suite semble tendre vers $-\infty$.

Ce sont des conjectures, comme au chapitre 2. Elles seront démontrées en Terminale.