La relation de récurrence

2.1 Définition

Définition. Une suite est définie par récurrence quand on donne :

1. son premier terme ;
2. une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent, de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$.

Exemple 6. On pose $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2u_n - 1$. Ici, $f(x) = 2x - 1$.

2.2 Calculer de proche en proche

Chaque terme sert à calculer le suivant. $u_1 = 2 \times 3 - 1 = 5, \quad u_2 = 2 \times 5 - 1 = 9, \quad u_3 = 2 \times 9 - 1 = 17, \quad u_4 = 2 \times 17 - 1 = 33.$

Pour obtenir $u_{100}$, il faudrait d'abord tous les termes précédents.

2.3 Le premier terme compte

La relation seule ne définit pas la suite. Avec la même relation $u_{n+1} = 2u_n - 1$ :

2.4 Traduire une situation

Pour modéliser une situation par une relation de récurrence, on écrit ce qui se passe en une étape.

Exemple 7 (un aquarium). Un aquarium contient $20$ litres d'eau. Chaque semaine, on retire $10\,\%$ de l'eau, puis on ajoute $5$ litres d'eau neuve. On note $u_n$ le volume, en litres, au bout de $n$ semaines.

Retirer $10\,\%$, c'est multiplier par $0{,}9$. On ajoute ensuite $5$. Donc, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 5, \quad \text{avec } u_0 = 20.$ On trouve $u_1 = 0{,}9 \times 20 + 5 = 23$ et $u_2 = 0{,}9 \times 23 + 5 = 25{,}7$.

Automatisme. Baisser de $10\,\%$, c'est multiplier par $1 - \dfrac{10}{100} = 0{,}9$. Augmenter de $10\,\%$, c'est multiplier par $1{,}1$.

2.5 Chercher une formule explicite

Une relation de récurrence oblige à calculer tous les termes. On cherche donc parfois une formule explicite, en observant les premiers termes.

Exemple 8. Pour la suite de l'exemple 6, les termes $3, 5, 9, 17, 33$ s'écrivent $2 + 1$, $4 + 1$, $8 + 1$, $16 + 1$, $32 + 1$. On conjecture que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^{n+1} + 1.$ Testons cette formule dans la relation : $2u_n - 1 = 2\left(2^{n+1} + 1\right) - 1 = 2^{n+2} + 2 - 1 = 2^{n+2} + 1.$ C'est bien la formule au rang $n + 1$. La démonstration complète utilise le raisonnement par récurrence, vu en Terminale. Avec cette formule, $u_{10} = 2^{11} + 1 = 2\,049$, sans calculer les termes d'avant.

2.6 Comparer les deux modes

Attention. Avec la même fonction, on n'obtient pas la même suite. Pour $f(x) = 2x - 1$, la formule explicite $u_n = 2n - 1$ donne $-1, 1, 3, 5$, alors que la relation $u_{n+1} = 2u_n - 1$ avec $u_0 = 3$ donne $3, 5, 9, 17$.