Cours : Variations et courbes représentatives des fonctions, Spécialité mathématiques

Sur des montagnes russes, le wagon monte quand la pente du rail est positive, et il descend quand elle est négative. Ce que l'on ressent sur le rail est le résultat central de ce chapitre : le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Ce lien permet d'étudier une fonction de bout en bout : tableau de variations, extrémums, courbe. Il sert ensuite à trois choses : résoudre des problèmes d'optimisation, établir des inégalités, et comparer deux courbes. Le chapitre commence par les symétries d'une courbe, les fonctions paires et impaires, et il se termine par la méthode de Newton, en Python, pour approcher la solution d'une équation.

Comme à l'épreuve anticipée, tout se fait ici sans calculatrice, sauf ce que l'on confie à Python. Les encadrés « Automatisme » signalent ce qu'il faut savoir faire sans hésiter, en particulier la lecture d'une courbe.

Leçon 1 : Fonctions paires, fonctions impaires

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Fonction paire

Pour la fonction carré, $3$ et $-3$ ont la même image, $9$ ; de même, $2$ et $-2$ ont la même image, $4$ . Sur la courbe, les points d'abscisses opposées sont à la même hauteur : si l'on plie la feuille le long de l'axe des ordonnées, les deux moitiés de la courbe se superposent.

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ . On dit que $f$ est paire si, pour tout $x$ de $D$ , $-x$ appartient aussi à $D$ , et $f(-x) = f(x)$ .

Traduction géométrique. Dans un repère orthogonal, la courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et réciproquement.

1.2 Fonction impaire

Pour la fonction cube, $g(2) = 8$ et $g(-2) = -8$ : deux nombres opposés ont des images opposées. Sur la courbe, les points d'abscisses opposées sont symétriques par rapport à l'origine : la courbe retombe sur elle-même après un demi-tour autour de l'origine.

Définition. On dit que $f$ est impaire si, pour tout $x$ de $D$ , $-x$ appartient aussi à $D$ , et $f(-x) = -f(x)$ .

Traduction géométrique. Dans un repère, la courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine, et réciproquement.

Conséquence. Si $f$ est impaire et définie en $0$ , alors $f(0) = -f(0)$ , donc $f(0) = 0$ .

1.3 Reconnaître par le calcul

On vérifie d'abord que l'ensemble de définition est symétrique par rapport à $0$ : si $x$ en fait partie, $-x$ aussi. Puis on calcule $f(-x)$ , et on compare à $f(x)$ et à $-f(x)$ .

Automatisme (puissances de $-x$ ). Une puissance paire fait disparaître le signe moins, une puissance impaire le garde : $(-x)^2 = x^2, \quad (-x)^3 = -x^3, \quad (-x)^4 = x^4, \quad (-x)^5 = -x^5.$

Exemple 1. Soit $f(x) = x^4 - 3x^2$ sur $\mathbb{R}$ . L'ensemble $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ , et $f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2 = f(x).$ La fonction $f$ est paire.

Exemple 2. Soit $g(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$ . Alors $g(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 1} = -\frac{x}{x^2 + 1} = -g(x).$ La fonction $g$ est impaire.

Exemple 3 (la valeur absolue). Pour tout réel $x$ , $\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$ : la fonction valeur absolue est paire. Sa courbe en V est bien symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

1.4 Ni paire ni impaire

Une fonction peut n'être ni paire ni impaire. Dire que $f$ est paire, c'est une phrase qui commence par « pour tout $x$ ». Pour la nier, un seul contre-exemple suffit.

Exemple 4. Soit $h(x) = x^2 + x$ . On a $h(1) = 2$ et $h(-1) = 0$ . Comme $h(-1) \neq h(1)$ , $h$ n'est pas paire. Comme $h(-1) \neq -h(1)$ , $h$ n'est pas impaire.

Exemple 5. La fonction racine carrée est définie sur $[0\,;+\infty[$ . Le nombre $4$ en fait partie, mais pas $-4$ : cet ensemble n'est pas symétrique par rapport à $0$ . La fonction n'est ni paire ni impaire.

1.5 À connaître, et à quoi cela sert

Paires	Impaires
$x \mapsto x^2$ , $x \mapsto x^4$ , $x \mapsto \lvert x \rvert$ , $x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$	$x \mapsto x$ , $x \mapsto x^3$ , $x \mapsto \dfrac1x$

Le vocabulaire vient des exposants : $x^n$ est paire si $n$ est pair, impaire si $n$ est impair.

Quand une fonction est paire ou impaire, il suffit de l'étudier sur les nombres positifs, puis de compléter par symétrie.

Fonction paire : de l'autre côté de $0$ , le sens de variation s'inverse.
Fonction impaire : de l'autre côté de $0$ , le sens de variation reste le même.

Exemple 6. La fonction inverse est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ . Comme elle est impaire, elle est aussi décroissante sur $]{-\infty}\,;0[$ . La fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$ . Comme elle est paire, elle est décroissante sur $]{-\infty}\,;0]$ .

Leçon 2 : Signe de la dérivée et sens de variation

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 Le lien entre les deux

Le nombre dérivé $f'(a)$ est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$ (chapitre 5). Là où la courbe monte, les tangentes montent : leur pente est positive. Là où elle descend, leur pente est négative.

Théorème (admis). Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$ .
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x) \leq 0$ pour tout $x$ de $I$ .

Un sens se comprend bien. Si $f$ est croissante, tous ses taux de variation sont positifs ou nuls, car $f(a + h) - f(a)$ et $h$ ont le même signe. Le nombre dont ils se rapprochent, $f'(a)$ , est donc positif ou nul.

La réciproque est admise. C'est elle qui sert : du signe de la dérivée, on déduit le sens de variation.

2.2 Variation stricte

Propriété (admise). Si $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$ , sauf peut-être en quelques points isolés où $f'$ s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ . De même, si $f'(x) < 0$ sur $I$ avec la même réserve, $f$ est strictement décroissante sur $I$ .

Exemple 7. Soit $f(x) = x^3 + 3x - 1$ sur $\mathbb{R}$ . Alors $f'(x) = 3x^2 + 3$ . Un carré est positif, donc $f'(x) > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Exemple 8. Soit $g(x) = x^3$ sur $\mathbb{R}$ . Alors $g'(x) = 3x^2$ , positif, et nul seulement en $0$ : $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Exemple 9. Soit $k(x) = \dfrac1x - x$ sur $]0\,;+\infty[$ . Alors $k'(x) = -\dfrac{1}{x^2} - 1 < 0$ : $k$ est strictement décroissante sur $]0\,;+\infty[$ .

2.3 Fonctions constantes

Caractérisation (admise). Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . La fonction $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$ .

Un sens est connu : la dérivée d'une constante est nulle. L'autre dit qu'une fonction dont toutes les tangentes sont horizontales ne peut pas changer de valeur.

Exemple 10. Soit $f(x) = (x + 1)^2 - (x - 1)^2 - 4x$ sur $\mathbb{R}$ . Avec la formule du produit, la dérivée de $(x + 1)^2$ est $2(x + 1)$ , et celle de $(x - 1)^2$ est $2(x - 1)$ . Donc $f'(x) = 2(x + 1) - 2(x - 1) - 4 = 0.$ La fonction $f$ est constante sur $\mathbb{R}$ . Comme $f(0) = 1 - 1 = 0$ , on a $f(x) = 0$ pour tout réel $x$ .

2.4 Le mot « intervalle » compte

Exemple 11. La fonction inverse a pour dérivée $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ , strictement négative sur $]{-\infty}\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ . Elle est strictement décroissante sur chacun de ces intervalles. Mais pas sur leur réunion : $-1 < 1$ , et $f(-1) = -1$ est plus petit que $f(1) = 1$ . Une fonction décroissante inverserait cet ordre.

Exemple 12. Soit $s$ la fonction qui vaut $-1$ sur $]{-\infty}\,;0[$ et $1$ sur $]0\,;+\infty[$ . Sa dérivée est nulle sur chacun des deux intervalles, et $s$ n'est pas constante sur leur réunion.

Le théorème ne s'applique donc jamais à une réunion d'intervalles.

2.5 Lire une courbe

Automatisme (signe et variations à la lecture). Sur une courbe :

le signe de $f$ se lit par rapport à l'axe des abscisses : $f(x) > 0$ là où la courbe est au-dessus de l'axe, $f(x) < 0$ là où elle est au-dessous ;

les variations de $f$ se lisent en suivant la courbe de gauche à droite : elle monte ou elle descend ;

le signe de $f'$ suit les variations de $f$ , et non le signe de $f$ .

Exemple 13. Une fonction $f$ est définie sur $[-4\,;4]$ . Sa courbe coupe l'axe des abscisses en $-3$ , $0$ et $3$ . Elle monte de $(-4\,;-2)$ à $(-2\,;2)$ , descend jusqu'à $(2\,;-2)$ , puis remonte jusqu'à $(4\,;2)$ .

$x$ $-4$ $-3$ $0$ $3$ $4$

$f(x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$

$x$ $-4$ $-2$ $2$ $4$

$f$ $-2$ $\nearrow$ $2$ $\searrow$ $-2$ $\nearrow$ $2$

Entre $-2$ et $0$ , $f$ est positive, et pourtant elle décroît : $f'(x)$ y est négatif. Ne pas confondre le signe de $f$ et celui de $f'$ .

$x$	$-4$		$-3$		$0$		$3$		$4$
$f(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$x$	$-4$		$-2$		$2$		$4$
$f$	$-2$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$2$

Leçon 3 : Étudier une fonction

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 La méthode

Préciser l'intervalle, et vérifier que $f$ y est dérivable.
Calculer $f'(x)$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ : on factorise, et on réduit au même dénominateur s'il y a une fraction.
Dresser le tableau de variations, avec les images aux valeurs importantes.
Conclure sur les extrémums : la plus grande et la plus petite valeur.

Automatisme (signe d'une expression factorisée). Pour une expression du second degré factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ , le signe est celui de $a$ à l'extérieur des racines, et le signe contraire entre les racines (chapitre 1).

3.2 Un polynôme

Exemple 14. Étudions $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $[-2\,;2]$ . C'est un polynôme, donc $f$ est dérivable, et $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1).$ Les racines sont $-1$ et $1$ , et $a = 3 > 0$ : $f'(x)$ est positif à l'extérieur des racines, négatif entre les racines. On calcule $f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1$ , $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ , $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ et $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ .

$x$ $-2$ $-1$ $1$ $2$

$f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$

$f$ $-1$ $\nearrow$ $3$ $\searrow$ $-1$ $\nearrow$ $3$

Sur $[-2\,;2]$ , le maximum de $f$ est $3$ , atteint en $-1$ et en $2$ . Le minimum est $-1$ , atteint en $-2$ et en $1$ .

$x$	$-2$		$-1$		$1$		$2$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$-1$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$3$

Les bornes comptent : le maximum est atteint aussi en $2$ , et le minimum en $-2$ , alors que la dérivée ne s'y annule pas. Sur un intervalle fermé, on compare toujours les valeurs aux bornes.

3.3 Avec une fraction

Exemple 15. Étudions $g(x) = x + \dfrac4x$ sur $]0\,;+\infty[$ . La fonction est dérivable sur cet intervalle, et $g'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}.$ Sur $]0\,;+\infty[$ , $x^2 > 0$ et $x + 2 > 0$ : le signe de $g'(x)$ est celui de $x - 2$ .

$x$ $0$ $2$ $+\infty$

$g'(x)$ $\Vert$ $-$ $0$ $+$

$g$ $\Vert$ $\searrow$ $4$ $\nearrow$

Le minimum de $g$ sur $]0\,;+\infty[$ est $g(2) = 4$ .

$x$	$0$		$2$		$+\infty$
$g'(x)$	$\Vert$	$-$	$0$	$+$
$g$	$\Vert$	$\searrow$	$4$	$\nearrow$

La double barre rappelle que $g$ n'est pas définie en $0$ . Aucune limite n'est au programme de Première : on laisse vides les cases de $+\infty$ et de la double barre. Le comportement d'une fonction près d'une valeur interdite et vers l'infini sera étudié en Terminale.

Exemple 16 (une valeur interdite au milieu). Soit $k(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$ sur $]{-\infty}\,;1[$ et sur $]1\,;+\infty[$ . La formule du quotient donne $k'(x) = \frac{2x(x - 1) - x^2}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}.$ Le dénominateur est positif : le signe est celui de $x(x - 2)$ . Avec $k(0) = 0$ et $k(2) = 4$ :

$x$ $-\infty$ $0$ $1$ $2$ $+\infty$

$k'(x)$ $+$ $0$ $-$ $\Vert$ $-$ $0$ $+$

$k$ $\nearrow$ $0$ $\searrow$ $\Vert$ $\searrow$ $4$ $\nearrow$

$x$	$-\infty$		$0$		$1$		$2$		$+\infty$
$k'(x)$		$+$	$0$	$-$	$\Vert$	$-$	$0$	$+$
$k$		$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$\Vert$	$\searrow$	$4$	$\nearrow$

3.4 Résoudre à la lecture d'une courbe

Automatisme (résoudre graphiquement). Pour résoudre $f(x) = k$ , on trace la droite horizontale d'équation $y = k$ , et on lit les abscisses des points communs avec la courbe. Pour résoudre $f(x) < k$ , on lit les abscisses des points de la courbe situés strictement au-dessous de cette droite.

Exemple 17. Sur la courbe de la fonction $f$ de l'exemple 14, sur $[-2\,;2]$ :

$f(x) = 3$ a pour solutions $-1$ et $2$ ;

$f(x) < 3$ a pour ensemble de solutions $[-2\,;-1[\ \cup\ ]{-1}\,;2[$ . En $-1$ et en $2$ , la courbe touche la droite : l'inégalité stricte exclut ces deux nombres ;

$f(x) = -1$ a pour solutions $-2$ et $1$ .

Leçon 4 : Extrémum et tangente horizontale

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Extrémum local

Définitions. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , et $a$ un nombre de $I$ .

$f$ admet un maximum local en $a$ s'il existe un intervalle ouvert contenant $a$ , inclus dans $I$ , sur lequel $f(a)$ est la plus grande valeur de $f$ .
$f$ admet un minimum local en $a$ s'il existe un intervalle ouvert contenant $a$ , inclus dans $I$ , sur lequel $f(a)$ est la plus petite valeur de $f$ .

Un maximum ou un minimum s'appelle un extrémum. « Local » veut dire : autour de $a$ , pas forcément partout.

Exemple 18. Pour $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$ , $f(-1) = 3$ est un maximum local, puisque $f(x) \leq 3$ pour $x$ assez proche de $-1$ . Mais $f(3) = 19$ : sur $\mathbb{R}$ , $3$ n'est pas la plus grande valeur de $f$ .

4.2 Nombre dérivé en un extrémum

Propriété. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ , et $a$ un nombre de $I$ . Si $f$ admet un extrémum local en $a$ , alors $f'(a) = 0$ : la tangente au point d'abscisse $a$ est horizontale.

Pourquoi. Prenons un maximum local en $a$ . Un peu à gauche de $a$ , $f(x) \leq f(a)$ et $x - a < 0$ : le taux de variation entre $a$ et $x$ est positif ou nul. Un peu à droite, il est négatif ou nul. Or tous ces taux se rapprochent du même nombre, $f'(a)$ . Ce nombre est à la fois positif ou nul, et négatif ou nul : il vaut $0$ .

4.3 La réciproque est fausse

La fonction cube fournit le contre-exemple. Pour $f(x) = x^3$ , on a $f'(0) = 0$ : la tangente à l'origine est horizontale. Mais $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (exemple 8) : elle n'a pas d'extrémum en $0$ . La courbe traverse sa tangente.

Avec le vocabulaire de la logique :

« extrémum local en $a$ » implique « $f'(a) = 0$ » : c'est vrai. La condition $f'(a) = 0$ est nécessaire ;
« $f'(a) = 0$ » n'implique pas « extrémum local en $a$ » : la réciproque est fausse. La condition n'est pas suffisante.

4.4 Une condition suffisante

Propriété. Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ , et $a$ un nombre de $I$ . Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extrémum local en $a$ :

si $f'$ passe de $+$ à $-$ , c'est un maximum local ;
si $f'$ passe de $-$ à $+$ , c'est un minimum local.

Si $f'$ s'annule en $a$ sans changer de signe, il n'y a pas d'extrémum en $a$ : $f$ continue dans le même sens.

Exemple 19. Soit $f(x) = x^4 - 2x^2$ sur $\mathbb{R}$ . Alors $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1).$

$x$ $-\infty$ $-1$ $0$ $1$ $+\infty$

$f'(x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$

$f$ $\searrow$ $-1$ $\nearrow$ $0$ $\searrow$ $-1$ $\nearrow$

La fonction admet un minimum local égal à $-1$ , en $-1$ et en $1$ , et un maximum local égal à $0$ , en $0$ . Elle est paire (leçon 1), et le tableau le confirme.

$x$	$-\infty$		$-1$		$0$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$		$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$

Exemple 20. Soit $g(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$ sur $\mathbb{R}$ . Alors $g'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2$ . La dérivée s'annule en $1$ sans changer de signe : $g$ est strictement croissante, et elle n'a pas d'extrémum en $1$ .

4.5 Deux cas à part

À la borne d'un intervalle. Sur $[0\,;1]$ , la fonction $f(x) = x$ a un minimum en $0$ , alors que $f'(0) = 1$ . C'est pourquoi la propriété demande un intervalle ouvert.

Là où la fonction n'est pas dérivable. La fonction valeur absolue a un minimum en $0$ , mais pas de nombre dérivé en $0$ (chapitre 6). La courbe y a une pointe, et non une tangente horizontale.

Leçon 5 : Second degré et dérivation

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 Variations et extrémum

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ , avec $a \neq 0$ . La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , et $f'(x) = 2ax + b.$ C'est une fonction affine, qui s'annule en $-\dfrac{b}{2a}$ .

Si $a > 0$ : $f'$ est négative, puis positive. La fonction $f$ est décroissante, puis croissante.

$x$	$-\infty$		$-\dfrac{b}{2a}$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f$		$\searrow$	minimum	$\nearrow$

Si $a < 0$ : $f'$ est positive, puis négative. La fonction $f$ est croissante, puis décroissante.

$x$	$-\infty$		$-\dfrac{b}{2a}$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f$		$\nearrow$	maximum	$\searrow$

Dans les deux cas, l'extrémum vaut $f\!\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$ .

Allure. La courbe est une parabole, tournée vers le haut si $a > 0$ , et vers le bas si $a < 0$ . Le signe du coefficient de $x^2$ donne donc l'allure de la courbe.

Exemple 21. Soit $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ . Alors $f'(x) = 4x - 8$ , nulle en $2$ . Comme $a = 2 > 0$ , $f$ admet un minimum, égal à $f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$ .

Exemple 22. Soit $g(x) = -x^2 + 6x - 5$ . Alors $g'(x) = -2x + 6$ , nulle en $3$ . Comme $a = -1 < 0$ , $g$ admet un maximum, égal à $g(3) = -9 + 18 - 5 = 4$ .

5.2 Le lien avec la forme canonique

Au chapitre 1, on a écrit $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ , et on a lu l'extrémum $\beta$ , atteint en $\alpha$ . Pour la fonction de l'exemple 21, $f(x) = 2(x - 2)^2 - 5$ : on lit $\alpha = 2$ et $\beta = -5$ .

La dérivée donne les mêmes nombres : $\alpha = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha).$

Si la forme canonique est donnée, on lit. Sinon, la dérivée est souvent plus rapide.

5.3 En contexte

Exemple 23 (un ballon de rugby). La hauteur d'un ballon, en mètres, est modélisée par $h(x) = -0{,}02x^2 + 0{,}8x$ , où $x$ est la distance parcourue au sol, en mètres, avec $0 \leq x \leq 40$ . Alors $h'(x) = -0{,}04x + 0{,}8$ , nulle pour $x = 20$ . Comme $a < 0$ , c'est un maximum, et $h(20) = -8 + 16 = 8$ . Le ballon monte à $8$ mètres de hauteur, à $20$ mètres du joueur. Il retombe à $40$ mètres, car $h(40) = 0$ .

Leçon 6 : Résoudre un problème d'optimisation

Voir la vidéo de la leçon 6

6.1 La méthode

Choisir la variable, et préciser son intervalle.
Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de cette variable.
Étudier ses variations.
Répondre à la question par une phrase, avec les unités.

6.2 Une barquette

Exemple 24. Un traiteur fabrique des barquettes à partir de plaques de carton carrées de $30$ centimètres de côté. Il découpe à chaque coin un carré de côté $x$ , puis il replie les bords. Quelle valeur de $x$ donne le plus grand volume ?

Variable. Le fond est un carré de côté $30 - 2x$ , et la hauteur vaut $x$ . Il faut $x > 0$ et $2x < 30$ , donc $x$ appartient à $]0\,;15[$ .

Expression. Le volume, en centimètres cubes, est $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x.$ On développe, car on sait dériver un polynôme.

Variations. On a $V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 12(x^2 - 20x + 75)$ . Les racines de $x^2 - 20x + 75$ sont $5$ et $15$ : leur somme vaut $20$ , et leur produit $75$ . Donc $V'(x) = 12(x - 5)(x - 15)$ . Sur $]0\,;15[$ , $x - 15 < 0$ :

$x$ $0$ $5$ $15$

$V'(x)$ $+$ $0$ $-$

$V$ $\nearrow$ $2\,000$ $\searrow$

Réponse. $V(5) = 5 \times 20^2 = 2\,000$ . Il faut découper des carrés de $5$ centimètres de côté. La barquette a un fond de $20$ centimètres de côté, $5$ centimètres de hauteur, et un volume de $2\,000$ centimètres cubes, soit $2$ litres.

$x$	$0$		$5$		$15$
$V'(x)$		$+$	$0$	$-$
$V$		$\nearrow$	$2\,000$	$\searrow$

6.3 Un parc à chiens

Exemple 25. Une commune installe un parc à chiens rectangulaire de $72$ mètres carrés le long d'un mur. Seuls trois côtés sont à clôturer. Quelles dimensions demandent le moins de clôture ?

Variable. Soit $x > 0$ la largeur, perpendiculaire au mur, en mètres. La longueur est $\dfrac{72}{x}$ .

Expression. La longueur de clôture est $L(x) = 2x + \dfrac{72}{x}$ .

Variations. $L'(x) = 2 - \frac{72}{x^2} = \frac{2(x^2 - 36)}{x^2} = \frac{2(x - 6)(x + 6)}{x^2}.$ Sur $]0\,;+\infty[$ , le signe est celui de $x - 6$ .

$x$ $0$ $6$ $+\infty$

$L'(x)$ $\Vert$ $-$ $0$ $+$

$L$ $\Vert$ $\searrow$ $24$ $\nearrow$

Réponse. $L(6) = 12 + 12 = 24$ . Un parc de $6$ mètres sur $12$ demande le moins de clôture : $24$ mètres.

$x$	$0$		$6$		$+\infty$
$L'(x)$	$\Vert$	$-$	$0$	$+$
$L$	$\Vert$	$\searrow$	$24$	$\nearrow$

6.4 Attention à l'intervalle

La solution dépend de l'intervalle. Si le terrain impose une largeur d'au moins $8$ mètres, $L$ est croissante sur $[8\,;+\infty[$ : le minimum est atteint en $8$ , et non en $6$ . On a $L(8) = 16 + 9 = 25$ : il faut un mètre de clôture de plus. C'est pourquoi on précise l'intervalle dès la première étape, et on regarde aussi ce qui se passe aux bornes.

Leçon 7 : Établir une inégalité

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 Utiliser un extrémum

Essayer quelques valeurs ne prouve rien : un intervalle contient une infinité de nombres. La dérivation donne une méthode sûre.

Propriété. Si $f$ admet un minimum $m$ sur un intervalle $I$ , alors $f(x) \geq m$ pour tout $x$ de $I$ . Si $f$ admet un maximum $M$ sur $I$ , alors $f(x) \leq M$ pour tout $x$ de $I$ .

Exemple 26. Montrons que, pour tout $x > 0$ , $x + \dfrac1x \geq 2$ . Soit $f(x) = x + \dfrac1x$ sur $]0\,;+\infty[$ . Alors $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2},$ dont le signe est celui de $x - 1$ . La fonction $f$ est décroissante sur $]0\,;1]$ , puis croissante sur $[1\,;+\infty[$ . Son minimum est $f(1) = 2$ . Donc $f(x) \geq 2$ pour tout $x > 0$ , avec égalité seulement en $1$ .

Exemple 27 (un encadrement). Reprenons $g(x) = x + \dfrac4x$ de l'exemple 15, sur $[1\,;4]$ . La fonction décroît de $g(1) = 5$ à $g(2) = 4$ , puis croît jusqu'à $g(4) = 5$ . Donc, pour tout $x$ de $[1\,;4]$ , $4 \leq g(x) \leq 5$ .

7.2 Étudier une différence

Pour comparer deux expressions $A(x)$ et $B(x)$ sur un intervalle $I$ , on pose $d(x) = A(x) - B(x)$ , et on étudie les variations de $d$ sur $I$ . Si le minimum de $d$ est positif ou nul, alors $d(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$ , donc $A(x) \geq B(x)$ .

Exemple 28. Montrons que, pour tout $x \geq 0$ , $x^3 + 2 \geq 3x$ . Soit $d(x) = x^3 - 3x + 2$ sur $[0\,;+\infty[$ . Alors $d'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$ , et $x + 1 > 0$ sur cet intervalle.

$x$ $0$ $1$ $+\infty$

$d'(x)$ $-$ $0$ $+$

$d$ $2$ $\searrow$ $0$ $\nearrow$

Le minimum de $d$ est $d(1) = 0$ . Donc $d(x) \geq 0$ pour tout $x \geq 0$ .

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
$d'(x)$		$-$	$0$	$+$
$d$	$2$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$

L'intervalle compte. L'inégalité est fausse pour $x = -3$ : $x^3 + 2 = -25$ et $3x = -9$ , et $-25 < -9$ .

7.3 L'approximation de la racine carrée

Au chapitre 5, on a écrit $\sqrt{1 + h} \approx 1 + 0{,}5h$ . Avec $x = 1 + h$ , cela donne, près de $1$ , $\sqrt{x} \approx \dfrac{1 + x}{2}$ . Cette approximation est-elle trop grande ou trop petite ?

Exemple 29. Soit $d(x) = \dfrac{1 + x}{2} - \sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ . Alors $d'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x}}.$ Le signe est celui de $\sqrt{x} - 1$ : négatif sur $]0\,;1[$ , positif sur $]1\,;+\infty[$ . Le minimum de $d$ est $d(1) = 0$ , donc $d(x) \geq 0$ . En $0$ aussi, $\sqrt{0} = 0 \leq \dfrac12$ . Ainsi, pour tout $x \geq 0$ , $\sqrt{x} \leq \frac{1 + x}{2}.$ L'approximation linéaire de la racine carrée en $1$ est toujours un peu trop grande.

Leçon 8 : Position relative de deux courbes

Voir la vidéo de la leçon 8

8.1 La méthode

Sur un intervalle $I$ , la courbe de $f$ est au-dessus de la courbe de $g$ si et seulement si $f(x) \geq g(x)$ pour tout $x$ de $I$ , c'est-à-dire si $f(x) - g(x) \geq 0$ .

Former la différence $d(x) = f(x) - g(x)$ .
Étudier son signe : on factorise, ou on étudie ses variations.
Conclure : là où $d(x) > 0$ , la courbe de $f$ est au-dessus ; là où $d(x) < 0$ , elle est au-dessous ; là où $d(x) = 0$ , les courbes ont un point commun.

Exemple 30. Comparons les courbes de $f(x) = x^3$ et $g(x) = x^2$ . On a $d(x) = x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$ .

$x$ $-\infty$ $0$ $1$ $+\infty$

$x^2$ $+$ $0$ $+$ $+$

$x - 1$ $-$ $-$ $0$ $+$

$d(x)$ $-$ $0$ $-$ $0$ $+$

Sur $]{-\infty}\,;1[$ , la courbe de $f$ est au-dessous de celle de $g$ ; sur $]1\,;+\infty[$ , elle est au-dessus. Les points communs sont $O(0\,;0)$ et $A(1\,;1)$ .

$x$		$0$		$1$
$x^2$	$+$	$0$	$+$		$+$
$x - 1$	$-$		$-$	$0$	$+$
$d(x)$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$

8.2 Recette et coût

Exemple 31. Un atelier fabrique des sacs en toile. Pour $q$ centaines de sacs, avec $0 \leq q \leq 10$ , sa recette est $R(q) = 24q$ et son coût $C(q) = q^3 - 8q^2 + 23q + 8$ , en centaines d'euros. On a $R(q) - C(q) = -q^3 + 8q^2 + q - 8 = -(q - 1)(q + 1)(q - 8).$ Sur $[0\,;10]$ , $q + 1 > 0$ . Un tableau de signes donne :

$q$ $0$ $1$ $8$ $10$

$R(q) - C(q)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$

La courbe de la recette est au-dessus de celle du coût entre $1$ et $8$ : l'atelier réalise un bénéfice s'il vend entre $100$ et $800$ sacs.

$q$	$0$		$1$		$8$		$10$
$R(q) - C(q)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

8.3 Une courbe et sa tangente

La méthode est la même, avec pour $g$ la fonction affine de la tangente.

Exemple 32. La tangente à la courbe de la fonction inverse au point d'abscisse $1$ a pour équation $y = -x + 2$ . Sur $]0\,;+\infty[$ , $d(x) = \frac1x + x - 2 = \frac{1 + x^2 - 2x}{x} = \frac{(x - 1)^2}{x} \geq 0.$ La courbe est au-dessus de sa tangente, et elle ne la touche qu'au point d'abscisse $1$ . C'est l'inégalité de l'exemple 26.

Exemple 33. La tangente à la courbe de la fonction cube au point d'abscisse $1$ a pour équation $y = 3x - 2$ . On a $d(x) = x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2).$ Le signe est celui de $x + 2$ . La courbe est au-dessus de sa tangente sur $]{-2}\,;+\infty[$ , et au-dessous sur $]{-\infty}\,;-2[$ . La tangente recoupe la courbe au point d'abscisse $-2$ , de coordonnées $(-2\,;-8)$ .

Si l'on ne sait pas factoriser la différence, on étudie ses variations, comme à la leçon 7.

Leçon 9 : Méthode de Newton en Python

Voir la vidéo de la leçon 9

9.1 L'idée

On veut résoudre $f(x) = 0$ , lorsqu'aucune formule n'est disponible. L'idée de Newton : on remplace la courbe par sa tangente, car on sait où une droite coupe l'axe des abscisses.

On part d'un nombre $x_0$ . La tangente au point d'abscisse $x_0$ coupe l'axe en un nombre $x_1$ . La tangente au point d'abscisse $x_1$ le coupe en $x_2$ , et ainsi de suite.

9.2 La formule

La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ . Elle coupe l'axe des abscisses là où $y = 0$ . Si $f'(a) \neq 0$ , cela donne $x = a - \dfrac{f(a)}{f'(a)}$ . On obtient une suite définie par son premier terme et la relation $x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$

Exemple 34. Pour $f(x) = x^2 - 2$ , on a $f'(x) = 2x$ . La solution positive de $f(x) = 0$ est $\sqrt2$ . Avec $x_0 = 2$ : $x_1 = 2 - \frac24 = 1{,}5, \qquad x_2 = 1{,}5 - \frac{0{,}25}{3} = \frac{17}{12} \approx 1{,}4167.$

9.3 Le programme

def f(x):
    return x**2 - 2

def df(x):
    return 2*x

def newton(x0, n):
    liste = [x0]
    x = x0
    for k in range(n):
        x = x - f(x) / df(x)
        liste.append(x)
    return liste

En langage naturel, l'instruction de la boucle s'écrit $x \leftarrow x - \dfrac{f(x)}{f'(x)}$ . Chaque tâche a sa fonction : pour changer d'équation, on ne modifie que f et df.

Étape	Valeur renvoyée par `newton(2, 5)`	Décimales justes
$0$	`2`
$1$	`1.5`	aucune
$2$	`1.4166666666666667`	$2$
$3$	`1.4142156862745099`	$5$
$4$	`1.4142135623746899`	$11$
$5$	`1.4142135623730951`	toutes celles affichées

La convergence est très rapide : le nombre de décimales justes double à peu près à chaque étape.

9.4 Une équation sans formule

Exemple 35. Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ . Sa dérivée, $f'(x) = 3x^2 + 1$ , est strictement positive : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Sur sa courbe, on voit qu'elle coupe l'axe des abscisses une seule fois, entre $0$ et $1$ . Avec f et df adaptées, newton(1, 4) renvoie [1, 0.75, 0.686046511627907, 0.6823395825973142, 0.6823278039465127]. La solution vaut environ $0{,}6823$ .

9.5 Des cas favorables

La méthode n'est pas magique. Si la tangente est horizontale, elle ne coupe pas l'axe : la formule diviserait par zéro. Si le point de départ est mal choisi, les nombres obtenus peuvent s'éloigner de la solution.

On se limite donc à des cas favorables : $f$ est strictement monotone autour de la solution, sa dérivée ne s'y annule pas, et on part assez près. Un calcul numérique donne une très bonne valeur approchée, mais il ne démontre rien sur la solution.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

Parité : $f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ , courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ , courbe symétrique par rapport à l'origine. Un contre-exemple suffit à le nier.
Sens de variation : sur un intervalle, $f$ est croissante si et seulement si $f' \geq 0$ , décroissante si et seulement si $f' \leq 0$ , constante si et seulement si $f' = 0$ . Jamais sur une réunion d'intervalles.
Étude d'une fonction : intervalle, dérivée, signe, tableau de variations, extrémums. Sur un intervalle fermé, on compare les valeurs aux bornes.
Extrémum : sur un intervalle ouvert, un extrémum local en $a$ implique $f'(a) = 0$ et une tangente horizontale. La réciproque est fausse ( $x \mapsto x^3$ en $0$ ). Ce qui suffit, c'est que $f'$ s'annule en changeant de signe.
Second degré : $f'(x) = 2ax + b$ , extrémum en $-\dfrac{b}{2a}$ ; minimum et courbe tournée vers le haut si $a > 0$ , maximum et courbe tournée vers le bas si $a < 0$ .
Optimisation : variable et intervalle, expression, variations, réponse par une phrase.
Inégalité : on étudie un minimum ou un maximum, souvent celui d'une différence, sur l'intervalle donné.
Position relative : signe de $f(x) - g(x)$ . Une courbe peut rester d'un côté de sa tangente, ou la traverser.
Newton : $x_{n + 1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ , dans des cas favorables.

Rituel d'automatismes

Douze questions à réponses courtes, sans calculatrice, à faire en dix minutes environ : six sur ce chapitre, six sur des automatismes déjà travaillés. C'est le format de la première partie de l'épreuve anticipée. Télécharger le rituel du chapitre 7 (PDF, avec son corrigé).