Établir une inégalité

7.1 Utiliser un extrémum

Essayer quelques valeurs ne prouve rien : un intervalle contient une infinité de nombres. La dérivation donne une méthode sûre.

Propriété. Si $f$ admet un minimum $m$ sur un intervalle $I$, alors $f(x) \geq m$ pour tout $x$ de $I$. Si $f$ admet un maximum $M$ sur $I$, alors $f(x) \leq M$ pour tout $x$ de $I$.

Exemple 26. Montrons que, pour tout $x > 0$, $x + \dfrac1x \geq 2$. Soit $f(x) = x + \dfrac1x$ sur $]0\,;+\infty[$. Alors $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2},$ dont le signe est celui de $x - 1$. La fonction $f$ est décroissante sur $]0\,;1]$, puis croissante sur $[1\,;+\infty[$. Son minimum est $f(1) = 2$. Donc $f(x) \geq 2$ pour tout $x > 0$, avec égalité seulement en $1$.

Exemple 27 (un encadrement). Reprenons $g(x) = x + \dfrac4x$ de l'exemple 15, sur $[1\,;4]$. La fonction décroît de $g(1) = 5$ à $g(2) = 4$, puis croît jusqu'à $g(4) = 5$. Donc, pour tout $x$ de $[1\,;4]$, $4 \leq g(x) \leq 5$.

7.2 Étudier une différence

Pour comparer deux expressions $A(x)$ et $B(x)$ sur un intervalle $I$, on pose $d(x) = A(x) - B(x)$, et on étudie les variations de $d$ sur $I$. Si le minimum de $d$ est positif ou nul, alors $d(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$, donc $A(x) \geq B(x)$.

Exemple 28. Montrons que, pour tout $x \geq 0$, $x^3 + 2 \geq 3x$. Soit $d(x) = x^3 - 3x + 2$ sur $[0\,;+\infty[$. Alors $d'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$, et $x + 1 > 0$ sur cet intervalle.

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
$d'(x)$		$-$	$0$	$+$
$d$	$2$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$

Le minimum de $d$ est $d(1) = 0$. Donc $d(x) \geq 0$ pour tout $x \geq 0$.

L'intervalle compte. L'inégalité est fausse pour $x = -3$ : $x^3 + 2 = -25$ et $3x = -9$, et $-25 < -9$.

7.3 L'approximation de la racine carrée

Au chapitre 5, on a écrit $\sqrt{1 + h} \approx 1 + 0{,}5h$. Avec $x = 1 + h$, cela donne, près de $1$, $\sqrt{x} \approx \dfrac{1 + x}{2}$. Cette approximation est-elle trop grande ou trop petite ?

Exemple 29. Soit $d(x) = \dfrac{1 + x}{2} - \sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. Alors $d'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x}}.$ Le signe est celui de $\sqrt{x} - 1$ : négatif sur $]0\,;1[$, positif sur $]1\,;+\infty[$. Le minimum de $d$ est $d(1) = 0$, donc $d(x) \geq 0$. En $0$ aussi, $\sqrt{0} = 0 \leq \dfrac12$. Ainsi, pour tout $x \geq 0$, $\sqrt{x} \leq \frac{1 + x}{2}.$ L'approximation linéaire de la racine carrée en $1$ est toujours un peu trop grande.