Position relative de deux courbes

8.1 La méthode

Sur un intervalle $I$, la courbe de $f$ est au-dessus de la courbe de $g$ si et seulement si $f(x) \geq g(x)$ pour tout $x$ de $I$, c'est-à-dire si $f(x) - g(x) \geq 0$.

1. Former la différence $d(x) = f(x) - g(x)$.
2. Étudier son signe : on factorise, ou on étudie ses variations.
3. Conclure : là où $d(x) > 0$, la courbe de $f$ est au-dessus ; là où $d(x) < 0$, elle est au-dessous ; là où $d(x) = 0$, les courbes ont un point commun.

Exemple 30. Comparons les courbes de $f(x) = x^3$ et $g(x) = x^2$. On a $d(x) = x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$.

$x$	$-\infty$		$0$		$1$		$+\infty$
$x^2$		$+$	$0$	$+$		$+$
$x - 1$		$-$		$-$	$0$	$+$
$d(x)$		$-$	$0$	$-$	$0$	$+$

Sur $]{-\infty}\,;1[$, la courbe de $f$ est au-dessous de celle de $g$ ; sur $]1\,;+\infty[$, elle est au-dessus. Les points communs sont $O(0\,;0)$ et $A(1\,;1)$.

8.2 Recette et coût

Exemple 31. Un atelier fabrique des sacs en toile. Pour $q$ centaines de sacs, avec $0 \leq q \leq 10$, sa recette est $R(q) = 24q$ et son coût $C(q) = q^3 - 8q^2 + 23q + 8$, en centaines d'euros. On a $R(q) - C(q) = -q^3 + 8q^2 + q - 8 = -(q - 1)(q + 1)(q - 8).$ Sur $[0\,;10]$, $q + 1 > 0$. Un tableau de signes donne :

$q$	$0$		$1$		$8$		$10$
$R(q) - C(q)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

La courbe de la recette est au-dessus de celle du coût entre $1$ et $8$ : l'atelier réalise un bénéfice s'il vend entre $100$ et $800$ sacs.

8.3 Une courbe et sa tangente

La méthode est la même, avec pour $g$ la fonction affine de la tangente.

Exemple 32. La tangente à la courbe de la fonction inverse au point d'abscisse $1$ a pour équation $y = -x + 2$. Sur $]0\,;+\infty[$, $d(x) = \frac1x + x - 2 = \frac{1 + x^2 - 2x}{x} = \frac{(x - 1)^2}{x} \geq 0.$ La courbe est au-dessus de sa tangente, et elle ne la touche qu'au point d'abscisse $1$. C'est l'inégalité de l'exemple 26.

Exemple 33. La tangente à la courbe de la fonction cube au point d'abscisse $1$ a pour équation $y = 3x - 2$. On a $d(x) = x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2).$ Le signe est celui de $x + 2$. La courbe est au-dessus de sa tangente sur $]{-2}\,;+\infty[$, et au-dessous sur $]{-\infty}\,;-2[$. La tangente recoupe la courbe au point d'abscisse $-2$, de coordonnées $(-2\,;-8)$.

Si l'on ne sait pas factoriser la différence, on étudie ses variations, comme à la leçon 7.