L'algorithme de Brouncker pour $\ln 2$

Au XVIIe siècle, William Brouncker calcule $\ln 2$ à la main, en découpant l'aire sous une hyperbole. C'est l'un des travaux sur la quadrature de l'hyperbole cités par le programme.

13.1 Le découpage en rectangles

On sait que $\ln 2 = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{\mathrm{d}x}{x}$. On remplit l'aire sous la courbe par des rectangles.

• Un grand rectangle sous la courbe, de base $[1\,;2]$ et de hauteur $\dfrac12$. Son aire vaut $\dfrac12 = \dfrac{1}{1 \times 2}$.
• On coupe en $\dfrac32$. Au-dessus du grand rectangle, un rectangle de base $\left[1\,;\dfrac32\right]$ tient sous la courbe, entre les hauteurs $\dfrac12$ et $\dfrac23$. Son aire vaut $\dfrac12 \times \left(\dfrac23 - \dfrac12\right) = \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{3 \times 4}$.
• On recoupe chaque morceau en deux. Deux rectangles de largeur $\dfrac14$ s'ajoutent : $\dfrac14 \times \left(\dfrac45 - \dfrac23\right) = \dfrac{1}{30} = \dfrac{1}{5 \times 6}$ et $\dfrac14 \times \left(\dfrac47 - \dfrac12\right) = \dfrac{1}{56} = \dfrac{1}{7 \times 8}$.

La règle apparaît : on multiplie deux entiers consécutifs, en partant d'un nombre impair. On pose $S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(2k - 1) \times 2k} = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \dots + \dfrac{1}{(2n - 1) \times 2n}.$

13.2 Une somme alternée

Pour tout entier $k \geq 1$, $\dfrac{1}{(2k - 1) \times 2k} = \dfrac{1}{2k - 1} - \dfrac{1}{2k}$. Donc $S_n = 1 - \dfrac12 + \dfrac13 - \dfrac14 + \dots + \dfrac{1}{2n - 1} - \dfrac{1}{2n}.$

13.3 Pourquoi $S_n$ tend vers $\ln 2$

On reprend la suite $(I_n)$ de la leçon 10 : $I_0 = \ln 2$, et $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n + 1}$. Donc $I_0 = 1 - I_1$, puis $I_1 = \dfrac12 - I_2$, et ainsi de suite : $\ln 2 = I_0 = 1 - \dfrac12 + I_2 = 1 - \dfrac12 + \dfrac13 - \dfrac14 + I_4 = \dots = S_n + I_{2n}.$

Or $0 \leq I_{2n} \leq \dfrac{1}{2n + 1}$. Donc $0 \leq \ln 2 - S_n \leq \dfrac{1}{2n + 1}, \qquad\text{et}\qquad \lim\limits_{n \to +\infty} S_n = \ln 2.$

On sait même où s'arrêter : pour une erreur d'au plus $10^{-3}$, il suffit de prendre $n = 500$.

13.4 Le programme

def brouncker(n):
    s = 0
    for k in range(1, n + 1):
        s = s + 1 / ((2 * k - 1) * (2 * k))
    return s

Ces valeurs restent en dessous de $\ln 2 \approx 0{,}69315$. La convergence est lente : une décimale de plus demande environ $10$ fois plus de termes.

13.5 Le lien avec les rectangles

La valeur $S_{10} \approx 0{,}66877$ est exactement la somme des rectangles à droite de la leçon 11, pour $n = 10$. Ce n'est pas un hasard : l'exercice 25 montre que $S_n$ est égale à la somme des rectangles à droite à $n$ morceaux, pour tout $n$. Brouncker faisait donc déjà, à la main, la méthode des rectangles.