Le théorème des valeurs intermédiaires

3.1 L'énoncé (admis)

Théorème des valeurs intermédiaires. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ de $[a\,;b]$ tel que $f(c) = k$.

Autrement dit, l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a\,;b]$.

3.2 Ce que dit le théorème

• Graphiquement : la droite d'équation $y = k$ coupe la courbe de $f$ au moins une fois entre les abscisses $a$ et $b$.
• Au moins une : il peut y avoir plusieurs solutions. Le théorème donne l'existence d'une solution, ni sa valeur, ni le nombre de solutions.
• Cas le plus fréquent : si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors $0$ est compris entre eux, et l'équation $f(x) = 0$ a au moins une solution dans $[a\,;b]$.

3.3 La continuité est indispensable

Reprenons le parking de l'exemple 1 : $P(1) = 2$ et $P(2) = 4$, et $3$ est compris entre $2$ et $4$. Pourtant, aucune durée $t$ ne donne $P(t) = 3$ : la fonction « saute » de $2$ à $4$. Le théorème ne s'applique pas, car $P$ n'est pas continue sur $[1\,;2]$.

3.4 La méthode

Pour montrer que l'équation $f(x) = k$ a au moins une solution dans $[a\,;b]$, on vérifie trois points :

1. $f$ est continue sur $[a\,;b]$ ;
2. on calcule $f(a)$ et $f(b)$ ;
3. $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$.

Exemple 8. Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$. Montrons que l'équation $f(x) = 0$ a au moins une solution dans $[0\,;1]$.

1. $f$ est une fonction polynôme : elle est continue sur $[0\,;1]$.
2. $f(0) = 1$ et $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$.
3. $0$ est compris entre $-1$ et $1$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[0\,;1]$.

Exemple 9 (combien en tout ?). Avec la même fonction : $f(-2) = -1$, $f(-1) = 3$, $f(0) = 1$, $f(1) = -1$ et $f(2) = 3$. Le théorème, appliqué sur $[-2\,;-1]$, $[0\,;1]$ et $[1\,;2]$, donne au moins une solution dans chacun de ces intervalles. Ils n'ont aucun point commun, sauf $1$, qui n'est pas solution : l'équation a donc au moins trois solutions. La leçon 4 montre qu'elle en a exactement trois.

3.5 En contexte

Exemple 10. À $7$ h, un thermomètre indique $12$ °C ; à $15$ h, il indique $25$ °C. La température varie de façon continue au cours du temps. Comme $20$ est compris entre $12$ et $25$, il existe au moins un instant entre $7$ h et $15$ h où il a fait exactement $20$ °C. Le théorème ne dit pas quand, ni combien de fois.