Fonction strictement monotone : une unique solution

4.1 Le théorème

Le programme le nomme « cas des fonctions continues strictement monotones » ; on l'appelle souvent le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Théorème. Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a\,;b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a\,;b]$.

4.2 Pourquoi une seule solution

• Existence : c'est le théorème des valeurs intermédiaires.
• Unicité : supposons $f$ strictement croissante. Si $c$ et $c'$ sont deux réels de $[a\,;b]$ avec $c < c'$, alors $f(c) < f(c')$ : ils ne peuvent pas valoir $k$ tous les deux. Il y a donc au plus une solution. Le raisonnement est le même si $f$ est strictement décroissante, avec $f(c) > f(c')$.

4.3 Intervalles ouverts ou non bornés

Le théorème s'étend à un intervalle quelconque, ouvert ou non borné, en remplaçant $f(a)$ et $f(b)$ par les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle (on l'admet). Par exemple, si $f$ est continue et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$, avec $f(1) = -1$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$, alors toute valeur $k \geq -1$ est atteinte exactement une fois sur $[1\,;+\infty[$.

4.4 Compter les solutions d'une équation

Méthode. On dresse le tableau de variations complet de $f$ (limites et extremums). Sur chaque intervalle où $f$ est continue et strictement monotone, on regarde si $k$ est compris entre les valeurs (ou les limites) aux bornes : si oui, il y a une solution et une seule sur cet intervalle ; sinon, aucune.

Exemple 11. Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$.

• Dérivée : $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$, positive sur $]-\infty\,;-1[$, négative sur $]-1\,;1[$, positive sur $]1\,;+\infty[$.
• Limites (terme prépondérant $x^3$) : $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$.
• Valeurs : $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ et $f(1) = -1$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$-\infty$	croissante	$3$	décroissante	$-1$	croissante	$+\infty$

• Sur $]-\infty\,;-1]$, $f$ est continue et strictement croissante, de $-\infty$ à $3$ ; $0 \in\, ]-\infty\,;3]$ : une unique solution $\alpha$.
• Sur $[-1\,;1]$, $f$ est continue et strictement décroissante, de $3$ à $-1$ ; $0 \in [-1\,;3]$ : une unique solution $\beta$.
• Sur $[1\,;+\infty[$, $f$ est continue et strictement croissante, de $-1$ à $+\infty$ ; $0 \in [-1\,;+\infty[$ : une unique solution $\gamma$.

L'équation $f(x) = 0$ a exactement trois solutions $\alpha < \beta < \gamma$. Avec les valeurs de l'exemple 9 : $-2 < \alpha < -1$, $0 < \beta < 1$ et $1 < \gamma < 2$.

Exemple 12 (une autre valeur de $k$). Avec la même fonction, l'équation $f(x) = 4$ n'a pas de solution sur $]-\infty\,;1]$, car $f(x) \leq 3$ sur cet intervalle ; sur $[1\,;+\infty[$, $4$ est compris entre $-1$ et $+\infty$ : une unique solution. L'équation $f(x) = 4$ a exactement une solution.

4.5 Encadrer une solution avec la calculatrice

Exemple 13. Avec le tableau de valeurs de la calculatrice : $f(1{,}5) = -0{,}125 < 0$ et $f(1{,}6) = 0{,}296 > 0$. Comme $f$ est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$ et que $f(\gamma) = 0$, on a $1{,}5 < \gamma < 1{,}6$. En affinant le pas : $f(1{,}53) \approx -0{,}0084 < 0$ et $f(1{,}54) \approx 0{,}0323 > 0$, donc $1{,}53 < \gamma < 1{,}54$.

4.6 Rédiger

La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$. De plus $f(1) = -1$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$, et $0 \in [-1\,;+\infty[$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\gamma$ dans $[1\,;+\infty[$.

4.7 En déduire le signe d'une fonction

Les solutions de $f(x) = 0$ découpent l'axe en intervalles sur lesquels $f$ garde un signe constant. Pour $f(x) = x^3 - 3x + 1$, le tableau de variations donne :