Cours : Primitives et équations différentielles, Spécialité mathématiques

Depuis la Première, tu sais dériver : tu pars d'une fonction et tu trouves sa dérivée. Ce chapitre fait le chemin inverse : tu connais la dérivée, et tu cherches la fonction. C'est le problème inverse de la dérivation. Il conduit à un nouveau type d'équation, dont l'inconnue est une fonction : l'équation différentielle. Elle sert partout où l'on connaît la manière dont une grandeur évolue : une distance à partir d'une vitesse, un coût à partir d'un coût marginal, la température d'un plat qui refroidit.

Leçon 1 : Équations différentielles et primitives

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1.1 Une équation dont l'inconnue est une fonction

Un tramway quitte sa station. Pendant les dix premières secondes, sa vitesse à l'instant $t$ (en secondes) est $v(t) = t$ , en mètres par seconde. On note $d(t)$ la distance parcourue, en mètres. La vitesse est la dérivée de la distance, donc $d'(t) = t.$ On connaît la dérivée, on cherche la fonction : l'inconnue est la fonction $d$ , pas un nombre. La fonction $t \mapsto \frac12 t^2$ convient, car sa dérivée est $t$ . Le tramway a alors parcouru $\frac12 \times 10^2 = 50$ mètres au bout de dix secondes.

Définition. Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, notée le plus souvent $y$ , et qui fait intervenir la dérivée de cette fonction. Résoudre une équation différentielle sur un intervalle $I$ , c'est trouver toutes les fonctions dérivables sur $I$ qui la vérifient pour tout réel de $I$ . Chacune de ces fonctions est une solution.

Écriture. L'équation $y' = 2y$ est une écriture abrégée de : pour tout réel $x$ de $I$ , $y'(x) = 2\,y(x)$ .

Une solution est une fonction, et vérifier qu'une fonction est solution se fait toujours de la même manière : on calcule $y'$ , on calcule l'autre membre, on compare.

Exemple 1. La fonction $g : x \mapsto \mathrm{e}^{2x}$ est solution de $y' = 2y$ sur $\mathbb{R}$ : $g'(x) = 2\,\mathrm{e}^{2x} = 2\,g(x)$ . La fonction $h : x \mapsto x^2$ n'en est pas solution : $h'(2) = 4$ , alors que $2\,h(2) = 8$ . Une seule valeur de $x$ suffit pour conclure.

Exemple 2. La fonction $g : x \mapsto 3 - \mathrm{e}^{-x}$ est solution de $y' = -y + 3$ sur $\mathbb{R}$ . D'une part $g'(x) = \mathrm{e}^{-x}$ . D'autre part $-g(x) + 3 = -3 + \mathrm{e}^{-x} + 3 = \mathrm{e}^{-x}$ .

Exemple 3 (pour découvrir, aucune connaissance n'est exigible). D'autres équations différentielles existent, et certaines de leurs solutions se vérifient facilement.

$y' = y^2$ : la fonction $g : x \mapsto -\dfrac1x$ est solution sur $]0\,;+\infty[$ , car $g'(x) = \dfrac{1}{x^2} = \left(-\dfrac1x\right)^2$ .

$y'' + \omega^2 y = 0$ , où $\omega$ est un réel et $y''$ la dérivée seconde : la fonction $g : x \mapsto \cos(\omega x)$ est solution sur $\mathbb{R}$ , car $g''(x) = -\omega^2\cos(\omega x)$ . Cette équation décrit les oscillations, par exemple celles d'un ressort.

1.2 L'équation $y' = f$ et la notion de primitive

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ . Dans l'équation $y' = f$ , la dérivée est donnée : on cherche une fonction qui l'admet pour dérivée.

Définition. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ . Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que, pour tout réel $x$ de $I$ , $F'(x) = f(x).$ Autrement dit, les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les solutions de l'équation différentielle $y' = f$ sur $I$ .

Chercher une primitive, c'est faire l'opération inverse de la dérivation.

$F \;\xrightarrow{\;\text{dérivation}\;}\; f \qquad\qquad f \;\xrightarrow{\;\text{primitive}\;}\; F$

Pour vérifier une primitive, on dérive. On doit retrouver exactement $f$ . Ce réflexe est sûr et rapide : garde-le pendant tout le chapitre.

Exemple 4. La fonction $F : x \mapsto x^3 + 1$ est une primitive de $f : x \mapsto 3x^2$ sur $\mathbb{R}$ , car $F'(x) = 3x^2$ . La fonction $G : x \mapsto x^3 - 5$ en est une autre. Une fonction a donc plusieurs primitives : la leçon 2 dit exactement combien.

Exemple 5. La fonction $F : x \mapsto (x - 1)\,\mathrm{e}^x$ est une primitive de $f : x \mapsto x\,\mathrm{e}^x$ sur $\mathbb{R}$ . On dérive un produit : $F'(x) = 1 \times \mathrm{e}^x + (x - 1)\,\mathrm{e}^x = x\,\mathrm{e}^x.$

Exemple 6. La fonction $F : x \mapsto x\ln x - x$ est une primitive de la fonction $\ln$ sur $]0\,;+\infty[$ : $F'(x) = 1 \times \ln x + x \times \frac1x - 1 = \ln x.$

1.3 Une primitive existe-t-elle toujours ?

Théorème (admis ici). Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Le programme demande de l'admettre dans ce chapitre : ce résultat revient au chapitre 14, avec le calcul intégral.

Exister ne veut pas dire s'écrire simplement. La fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{-x^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ , donc elle admet des primitives. Pourtant, aucune de ses primitives ne s'écrit à l'aide des fonctions que tu connais : on dit qu'on ne dispose pas de primitive explicite. On peut quand même en calculer des valeurs approchées, avec la méthode d'Euler de la leçon 8.

1.4 Le signe de $f$ et les variations de $F$

Comme $F' = f$ , le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation, vu en Première, s'applique à $F$ :

si $f > 0$ sur un intervalle, $F$ y est strictement croissante ;
si $f < 0$ sur un intervalle, $F$ y est strictement décroissante ;
si $f$ s'annule en changeant de signe en $a$ , $F$ admet un extremum local en $a$ .

Exemple 7. Soit $f : x \mapsto x^2 - 1$ sur $\mathbb{R}$ et $F$ une primitive de $f$ . $f$ est positive à l'extérieur de $[-1\,;1]$ et négative à l'intérieur. Donc $F$ croît sur $]-\infty\,;-1]$ , décroît sur $[-1\,;1]$ , croît sur $[1\,;+\infty[$ . Elle admet un maximum local en $-1$ et un minimum local en $1$ , quelle que soit la primitive choisie.

Leçon 2 : Deux primitives diffèrent d'une constante

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2.1 La propriété

Propriété. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$ . Les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $x \mapsto F(x) + c$ , où $c$ est un réel quelconque.

En particulier, deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.

Démonstration. Première partie : pour tout réel $c$ , la fonction $F + c$ est dérivable sur $I$ et $(F + c)' = F' = f$ . C'est donc une primitive de $f$ .

Deuxième partie : soit $G$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$ . La fonction $G - F$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x$ de $I$ , $(G - F)'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0.$ Une fonction dérivable dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle (Première). Il existe donc un réel $c$ tel que $G(x) - F(x) = c$ pour tout $x$ de $I$ , c'est-à-dire $G = F + c$ .

Pourquoi l'intervalle compte. Sur $]-\infty\,;0[ \,\cup\, ]0\,;+\infty[$ , qui n'est pas un intervalle, la propriété tombe. La fonction $F : x \mapsto -\dfrac1x$ et la fonction $G$ égale à $-\dfrac1x + 1$ pour $x > 0$ et à $-\dfrac1x - 1$ pour $x < 0$ ont toutes deux pour dérivée $x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$ . Pourtant $G - F$ vaut $1$ d'un côté de $0$ et $-1$ de l'autre : ce n'est pas une constante. C'est pourquoi on travaille toujours sur un intervalle.

2.2 Ce que l'on voit sur les courbes

Si $G = F + c$ , la courbe de $G$ se déduit de celle de $F$ par une translation verticale. Toutes les courbes des primitives de $f$ se déduisent donc de l'une d'entre elles en la faisant glisser vers le haut ou vers le bas. Aux points de même abscisse $x$ , les tangentes sont parallèles : elles ont le même coefficient directeur $f(x)$ .

2.3 La primitive qui prend une valeur donnée

Propriété. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ , $x_0$ un réel de $I$ et $y_0$ un réel quelconque. Il existe une seule primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0) = y_0$ .

Démonstration. Soit $F_1$ une primitive de $f$ sur $I$ . Les primitives de $f$ sont les fonctions $F_1 + c$ . La condition $F_1(x_0) + c = y_0$ équivaut à $c = y_0 - F_1(x_0)$ : une seule valeur de $c$ convient.

La condition $F(x_0) = y_0$ s'appelle une condition initiale. Graphiquement, parmi toutes les courbes des primitives, une seule passe par le point de coordonnées $(x_0\,;y_0)$ .

Exemple 8. Déterminer la primitive $F$ de $f : x \mapsto 3x^2 - 2x + 1$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(2) = 7$ . Les primitives de $f$ sont les fonctions $x \mapsto x^3 - x^2 + x + c$ . Or $F(2) = 8 - 4 + 2 + c = 6 + c$ , donc $6 + c = 7$ et $c = 1$ . Ainsi $F(x) = x^3 - x^2 + x + 1$ . On vérifie : $F'(x) = 3x^2 - 2x + 1$ et $F(2) = 7$ .

Exemple 9 (le tramway). La fonction $d$ de la leçon 1 vérifie $d'(t) = t$ et $d(0) = 0$ . Les primitives de $t \mapsto t$ sont les fonctions $t \mapsto \frac12 t^2 + c$ , et $d(0) = 0$ impose $c = 0$ . Donc $d(t) = \frac12 t^2$ est la seule solution.

Exemple 10 (un coût). Un atelier fabrique des pots de confiture. Le coût total de fabrication de $q$ pots, en euros, est noté $C(q)$ . Sa dérivée, le coût marginal, vaut $C'(q) = 0{,}02q + 3$ , pour $q$ entre $0$ et $500$ . Les coûts fixes, payés même sans rien produire, s'élèvent à $120$ euros : $C(0) = 120$ . Les primitives donnent $C(q) = 0{,}01q^2 + 3q + c$ , et $C(0) = c = 120$ . Donc $C(q) = 0{,}01q^2 + 3q + 120$ . Fabriquer $100$ pots coûte $C(100) = 100 + 300 + 120 = 520$ euros.

Leçon 3 : Les primitives des fonctions de référence

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3.1 Lire le tableau des dérivées à l'envers

Comme chercher une primitive est l'opération inverse de la dérivation, chaque ligne du tableau des dérivées donne une primitive. Par exemple, pour un entier $n \neq -1$ , la dérivée de $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ est $x^n$ . La dérivée de $2\sqrt x$ est $\dfrac{1}{\sqrt x}$ . La dérivée de $-\cos x$ est $\sin x$ .

3.2 Le tableau des primitives de référence

$c$ désigne une constante. Pour obtenir toutes les primitives, on ajoute une constante à celle du tableau.

Fonction $f$	Une primitive $F$	Intervalle
$x \mapsto k$ ( $k$ constante)	$x \mapsto kx$	$\mathbb{R}$
$x \mapsto x^n$ ( $n$ entier, $n \geq 0$ )	$x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$
$x \mapsto x^n$ ( $n$ entier, $n \leq -2$ )	$x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$]-\infty\,;0[$ ou $]0\,;+\infty[$
$x \mapsto \dfrac1x$	$x \mapsto \ln x$	$]0\,;+\infty[$
$x \mapsto \dfrac1x$	$x \mapsto \ln(-x)$	$]-\infty\,;0[$
$x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt x}$	$x \mapsto 2\sqrt x$	$]0\,;+\infty[$
$x \mapsto \mathrm{e}^x$	$x \mapsto \mathrm{e}^x$	$\mathbb{R}$
$x \mapsto \sin x$	$x \mapsto -\cos x$	$\mathbb{R}$
$x \mapsto \cos x$	$x \mapsto \sin x$	$\mathbb{R}$

Quelques remarques.

Le cas $n = -1$ est à part : la formule $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ diviserait par $0$ . La fonction $x \mapsto \dfrac1x$ a pour primitive le logarithme, ce qu'on sait depuis le chapitre 8 : $\ln'(x) = \dfrac1x$ .
Pour $n = -2$ , on trouve que $x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$ a pour primitive $x \mapsto -\dfrac1x$ .
Sur $]-\infty\,;0[$ , la dérivée de $x \mapsto \ln(-x)$ est $x \mapsto \dfrac{-1}{-x} = \dfrac1x$ .
Attention au signe : la primitive de $\sin$ est $-\cos$ , celle de $\cos$ est $\sin$ . Un moyen sûr de ne pas se tromper : dériver pour vérifier.

3.3 Somme et produit par une constante

Propriété. Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$ sur $I$ , et si $k$ est un réel, alors $F + G$ est une primitive de $f + g$ et $kF$ est une primitive de $kf$ . Cela résulte des règles de dérivation.

Attention : il n'y a pas de règle pour un produit ni pour un quotient. Une primitive de $x\,\mathrm{e}^x$ n'est pas $\dfrac{x^2}{2}\,\mathrm{e}^x$ : on l'a vu à l'exemple 5, c'est $(x - 1)\,\mathrm{e}^x$ . En dérivant $\dfrac{x^2}{2}\,\mathrm{e}^x$ , on trouverait $\left(x + \dfrac{x^2}{2}\right)\mathrm{e}^x$ .

3.4 Exemples

Exemple 11. Une primitive de $f : x \mapsto 4x^3 - 6x + 5$ sur $\mathbb{R}$ est $F : x \mapsto x^4 - 3x^2 + 5x$ .

Exemple 12. Une primitive de $g : x \mapsto \dfrac{3}{x^2} - \dfrac2x$ sur $]0\,;+\infty[$ est $G : x \mapsto -\dfrac3x - 2\ln x$ .

Exemple 13. Une primitive de $h : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt x} + \dfrac{1}{x^3}$ sur $]0\,;+\infty[$ est $H : x \mapsto 2\sqrt x - \dfrac{1}{2x^2}$ . En effet, $\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}$ a pour primitive $\dfrac{x^{-2}}{-2}$ .

Exemple 14. Une primitive de $k : x \mapsto 5\,\mathrm{e}^x + 2\cos x - 3\sin x$ sur $\mathbb{R}$ est $K : x \mapsto 5\,\mathrm{e}^x + 2\sin x + 3\cos x$ .

Exemple 15 (transformer d'abord). Soit $f : x \mapsto \dfrac{x^2 + 1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ . On sépare : $f(x) = x + \dfrac1x$ . Une primitive est $F : x \mapsto \dfrac{x^2}{2} + \ln x$ .

Exemple 16 (sur les négatifs). Une primitive de $f : x \mapsto \dfrac4x$ sur $]-\infty\,;0[$ est $F : x \mapsto 4\ln(-x)$ .

Exemple 17 (avec une condition). Déterminer la primitive $F$ de $f : x \mapsto \mathrm{e}^x + 2x$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0) = 3$ . $F(x) = \mathrm{e}^x + x^2 + c$ , et $F(0) = 1 + c = 3$ , donc $c = 2$ . Ainsi $F(x) = \mathrm{e}^x + x^2 + 2$ .

Leçon 4 : Les primitives de fonctions composées

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 La dérivée d'une composée, lue à l'envers

Au chapitre 5, on a vu que $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$ . Lue de droite à gauche, cette formule donne le résultat principal de la leçon.

Propriété. Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si $v$ est dérivable sur un intervalle contenant les valeurs de $u$ , alors $v \circ u$ est une primitive de $(v' \circ u) \times u'$ sur $I$ .

Pour reconnaître cette forme, on cherche dans la fonction un morceau $u$ dont la dérivée $u'$ est aussi présente, en facteur.

4.2 Le tableau

$u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Fonction	Une primitive	Condition sur $I$
$u'\,\mathrm{e}^u$	$\mathrm{e}^u$
$u'\,u^n$ ( $n$ entier, $n \geq 0$ )	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
$u'\,u^n$ ( $n$ entier, $n \leq -2$ )	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$	$u$ ne s'annule pas
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln(u)$	$u > 0$
$\dfrac{u'}{\sqrt u}$	$2\sqrt u$	$u > 0$
$u'\cos u$	$\sin u$
$u'\sin u$	$-\cos u$

Si $u < 0$ sur $I$ , une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln(-u)$ . Le cas $n = -2$ mérite d'être retenu : une primitive de $\dfrac{u'}{u^2}$ est $-\dfrac1u$ .

Cas particulier très fréquent : $u(x) = ax + b$ , avec $a \neq 0$ . Alors $u' = a$ . Si $F$ est une primitive de $f$ , une primitive de $x \mapsto f(ax + b)$ est $x \mapsto \frac1a\,F(ax + b).$ Ainsi $\mathrm{e}^{2x}$ a pour primitive $\frac12\,\mathrm{e}^{2x}$ , et $\cos(3x)$ a pour primitive $\frac13\sin(3x)$ .

4.3 La méthode

Repérer $u$ et calculer $u'$ .
Faire apparaître $u'$ en ajustant un facteur constant si nécessaire.
Écrire la primitive à l'aide du tableau.
Vérifier en dérivant.

4.4 Exemples

Exemple 18 ( $u'\,\mathrm{e}^u$ ). $f : x \mapsto 2x\,\mathrm{e}^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$ . Avec $u(x) = x^2$ , $u'(x) = 2x$ : c'est exactement $u'\,\mathrm{e}^u$ . Une primitive est $F : x \mapsto \mathrm{e}^{x^2}$ .

Exemple 19 (ajuster un facteur). $g : x \mapsto x\,\mathrm{e}^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$ . Avec $u(x) = -x^2$ , $u'(x) = -2x$ . Il manque le facteur $-2$ : $g(x) = -\dfrac12 \times \left(-2x\,\mathrm{e}^{-x^2}\right)$ . Une primitive est $G : x \mapsto -\dfrac12\,\mathrm{e}^{-x^2}$ .

Exemple 20 ( $u'\,u^n$ ). $f : x \mapsto (2x + 1)\left(x^2 + x + 3\right)^3$ sur $\mathbb{R}$ . Avec $u(x) = x^2 + x + 3$ , $u'(x) = 2x + 1$ et $f = u'\,u^3$ . Une primitive est $F : x \mapsto \dfrac14\left(x^2 + x + 3\right)^4$ .

Exemple 21 (ajuster un facteur). $g : x \mapsto x^2\left(x^3 + 1\right)^4$ sur $\mathbb{R}$ . Avec $u(x) = x^3 + 1$ , $u'(x) = 3x^2$ , donc $g = \dfrac13\,u'\,u^4$ . Une primitive est $G : x \mapsto \dfrac{1}{15}\left(x^3 + 1\right)^5$ .

Exemple 22 ( $u'/u$ ). $f : x \mapsto \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$ . Ici $u(x) = x^2 + 1 > 0$ , et $f = \dfrac{u'}{u}$ . Une primitive est $F : x \mapsto \ln\left(x^2 + 1\right)$ .

Exemple 23 ( $u'/u$ ). $g : x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x + 1}$ sur $\mathbb{R}$ . Ici $u(x) = \mathrm{e}^x + 1 > 0$ . Une primitive est $G : x \mapsto \ln\left(\mathrm{e}^x + 1\right)$ .

Exemple 24 ( $u'/\sqrt u$ ). $f : x \mapsto \dfrac{2x + 3}{\sqrt{x^2 + 3x + 5}}$ sur $\mathbb{R}$ . Le trinôme $x^2 + 3x + 5$ a pour discriminant $-11 < 0$ : il est strictement positif. Avec $u(x) = x^2 + 3x + 5$ , $f = \dfrac{u'}{\sqrt u}$ . Une primitive est $F : x \mapsto 2\sqrt{x^2 + 3x + 5}$ .

Exemple 25 (avec le logarithme). $f : x \mapsto \dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ . Avec $u(x) = \ln x$ , $u'(x) = \dfrac1x$ , et $f = u'\,u$ . Une primitive est $F : x \mapsto \dfrac12(\ln x)^2$ .

Exemple 26 (trigonométrie). $f : x \mapsto \sin x\,\cos^2 x$ sur $\mathbb{R}$ . Avec $u(x) = \cos x$ , $u'(x) = -\sin x$ , donc $f = -u'\,u^2$ . Une primitive est $F : x \mapsto -\dfrac13\cos^3 x$ . De même, sur $\left]-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right[$ , où $\cos x > 0$ , la fonction $x \mapsto \dfrac{\sin x}{\cos x}$ a pour primitive $x \mapsto -\ln(\cos x)$ .

Exemple 27 (forme $ax + b$ ). Sur $\left]-\dfrac12\,;+\infty\right[$ , $x \mapsto \dfrac{1}{2x + 1}$ a pour primitive $x \mapsto \dfrac12\ln(2x + 1)$ . Sur $\mathbb{R}$ , $x \mapsto \sin\left(4x - 1\right)$ a pour primitive $x \mapsto -\dfrac14\cos\left(4x - 1\right)$ .

4.5 Les limites de la méthode

Seul un facteur constant peut être ajusté. Pour $x \mapsto \mathrm{e}^{-x^2}$ , avec $u(x) = -x^2$ , il manque le facteur $-2x$ : il n'est pas constant, on ne peut pas conclure. C'est normal, cette fonction n'a pas de primitive explicite. Pour $x \mapsto x\,\mathrm{e}^x$ , la méthode ne s'applique pas non plus : une primitive existe, mais on la trouvera par une autre technique au chapitre 14.

Leçon 5 : L'équation différentielle $y' = ay$

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5.1 Le résultat

Dans cette leçon, $a$ est un nombre réel. On sait depuis la Première que la fonction exponentielle vérifie $y' = y$ . Plus généralement, pour tout réel $C$ , la fonction $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}$ a pour dérivée $x \mapsto aC\,\mathrm{e}^{ax}$ : elle vérifie $y' = ay$ . Ce sont les seules solutions.

Théorème. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}, \qquad \text{où } C \text{ est un réel quelconque.}$

Démonstration. Ces fonctions sont solutions : si $g(x) = C\,\mathrm{e}^{ax}$ , alors $g'(x) = aC\,\mathrm{e}^{ax} = a\,g(x)$ .

Réciproquement, soit $y$ une solution sur $\mathbb{R}$ . On pose, pour tout réel $x$ , $z(x) = y(x)\,\mathrm{e}^{-ax}.$ La fonction $z$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $z'(x) = y'(x)\,\mathrm{e}^{-ax} - a\,y(x)\,\mathrm{e}^{-ax} = \big(y'(x) - a\,y(x)\big)\,\mathrm{e}^{-ax} = 0,$ car $y$ est solution. La dérivée de $z$ est nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$ : $z$ est constante. Il existe un réel $C$ tel que $y(x)\,\mathrm{e}^{-ax} = C$ pour tout $x$ . En multipliant par $\mathrm{e}^{ax}$ , on obtient $y(x) = C\,\mathrm{e}^{ax}$ .

Remarque. Avec $a = 1$ , on retrouve que l'unique solution de $y' = y$ telle que $y(0) = 1$ est la fonction exponentielle : c'est sa définition en Première, où l'unicité avait été admise.

5.2 Condition initiale

Propriété. Pour tous réels $x_0$ et $y_0$ , il existe une seule solution de $y' = ay$ telle que $y(x_0) = y_0$ .

En effet, $C\,\mathrm{e}^{ax_0} = y_0$ équivaut à $C = y_0\,\mathrm{e}^{-ax_0}$ . En particulier, la solution telle que $y(0) = y_0$ est $x \mapsto y_0\,\mathrm{e}^{ax}$ .

Exemple 28. Résoudre $y' = 3y$ : les solutions sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{3x}$ .

Exemple 29. Résoudre $2y' + y = 0$ avec $y(0) = 4$ . On se ramène à la forme du cours : $y' = -\dfrac12\,y$ . Les solutions sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{-x/2}$ , et $y(0) = C = 4$ . La solution cherchée est $x \mapsto 4\,\mathrm{e}^{-x/2}$ .

Exemple 30. Résoudre $y' = 0{,}5y$ avec $y(2) = 1$ . Les solutions sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{0{,}5x}$ , et $y(2) = C\,\mathrm{e} = 1$ , donc $C = \mathrm{e}^{-1}$ . La solution cherchée est $x \mapsto \mathrm{e}^{0{,}5x - 1}$ .

5.3 Somme et produit par une constante

Si $y_1$ et $y_2$ sont solutions de $y' = ay$ et si $k$ est un réel, alors $y_1 + y_2$ et $k\,y_1$ sont encore solutions : $(y_1 + y_2)' = a\,y_1 + a\,y_2 = a(y_1 + y_2) \quad\text{et}\quad (k\,y_1)' = k\,a\,y_1 = a(k\,y_1).$ Cette propriété est propre au cas $y' = ay$ . Elle est fausse pour $y' = ay + b$ avec $b \neq 0$ : une somme de deux solutions vérifie alors $y' = ay + 2b$ .

5.4 L'allure des courbes

La fonction $g : x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}$ a pour dérivée $x \mapsto aC\,\mathrm{e}^{ax}$ , du signe de $aC$ . Sa dérivée seconde $x \mapsto a^2C\,\mathrm{e}^{ax}$ est du signe de $C$ . Si $C = 0$ , c'est la fonction nulle. Pour $a \neq 0$ et $C \neq 0$ :

	$C > 0$	$C < 0$
$a > 0$	croissante, de limite $0$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$	décroissante, de limite $0$ en $-\infty$ et $-\infty$ en $+\infty$
$a < 0$	décroissante, de limite $+\infty$ en $-\infty$ et $0$ en $+\infty$	croissante, de limite $-\infty$ en $-\infty$ et $0$ en $+\infty$

La courbe est convexe si $C > 0$ , concave si $C < 0$ . Elle ne coupe jamais l'axe des abscisses, qui est une asymptote. Deux solutions différentes n'ont aucun point commun : par chaque point du plan passe la courbe d'une seule solution.

5.5 Un exemple de modélisation

Une grandeur dont la vitesse de variation est proportionnelle à sa valeur vérifie $y' = ay$ . Cela arrive dans de nombreuses situations : une population qui se reproduit, une substance éliminée par l'organisme.

Exemple 31 (la caféine). Après une tasse de café, on note $Q(t)$ la quantité de caféine dans le sang, en milligrammes, $t$ heures après l'avoir bue. On modélise son élimination par $Q' = -0{,}14\,Q$ , avec $Q(0) = 100$ . Alors $Q(t) = 100\,\mathrm{e}^{-0{,}14t}$ .

Au bout de $8$ heures : $Q(8) = 100\,\mathrm{e}^{-1{,}12} \approx 32{,}6$ milligrammes.

La quantité est divisée par deux quand $\mathrm{e}^{-0{,}14t} = \dfrac12$ , c'est-à-dire pour $t = \dfrac{\ln 2}{0{,}14} \approx 4{,}95$ heures, soit environ $5$ heures.

Leçon 6 : L'équation différentielle $y' = ay + b$

Voir la vidéo de la leçon 6

6.1 La solution constante

Dans cette leçon, $a$ et $b$ sont des réels, avec $a \neq 0$ . On cherche d'abord une solution constante $p$ . Une fonction constante a une dérivée nulle : il faut $0 = ap + b$ , c'est-à-dire $p = -\frac{b}{a}.$

6.2 Toutes les solutions

Théorème. Soit $a$ un réel non nul et $b$ un réel. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y' = ay + b$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad \text{où } C \text{ est un réel quelconque.}$

Justification. Soit $p$ la solution constante : $ap + b = 0$ . Pour toute fonction $y$ dérivable sur $\mathbb{R}$ , posons $z = y - p$ . Alors $z' = y'$ et $az = ay - ap = ay + b$ . Donc $y' = ay + b \iff z' = az.$ D'après la leçon 5, cela équivaut à $z(x) = C\,\mathrm{e}^{ax}$ , c'est-à-dire $y(x) = C\,\mathrm{e}^{ax} + p$ .

Retenir la structure : solution de $y' = ay + b$ = solutions de $y' = ay$ + solution particulière constante.

Avec une condition initiale, il y a une seule solution : la condition détermine $C$ .

Si $a = 0$ , l'équation s'écrit $y' = b$ : c'est un calcul de primitive, et ses solutions sont les fonctions $x \mapsto bx + c$ .

Exemple 32. Résoudre $y' = 2y - 6$ avec $y(0) = 1$ . Solution constante : $0 = 2p - 6$ , donc $p = 3$ . Les solutions sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{2x} + 3$ . La condition $y(0) = C + 3 = 1$ donne $C = -2$ . La solution cherchée est $x \mapsto 3 - 2\,\mathrm{e}^{2x}$ .

Exemple 33 (remettre sous la bonne forme). Résoudre $3y' + 2y = 6$ . On divise par $3$ : $y' = -\dfrac23\,y + 2$ . Solution constante : $p = 3$ . Les solutions sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{-2x/3} + 3$ .

6.3 L'allure des solutions

Si $a < 0$ , $\mathrm{e}^{ax}$ tend vers $0$ en $+\infty$ : toutes les solutions tendent vers la constante $p = -\dfrac{b}{a}$ . C'est une valeur d'équilibre : quelle que soit la valeur de départ, la grandeur s'en approche.
Si $a > 0$ , les solutions autres que la solution constante s'en éloignent et tendent vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de $C$ .

6.4 Un problème : la tarte qui refroidit

Exemple 34. Une tarte sort du four à $180$ °C dans une cuisine à $20$ °C. On admet que sa température $T(t)$ , en degrés Celsius, $t$ minutes après la sortie du four, vérifie $T' = -0{,}1\,(T - 20), \qquad T(0) = 180.$ Plus la tarte est chaude par rapport à la pièce, plus elle refroidit vite. Résolution. En développant, $T' = -0{,}1\,T + 2$ . La solution constante est $p = 20$ : c'est la température de la pièce. Donc $T(t) = C\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} + 20$ , et $T(0) = C + 20 = 180$ donne $C = 160$ : $T(t) = 160\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} + 20.$ Lecture. $T$ est strictement décroissante et tend vers $20$ en $+\infty$ : la tarte finit à la température de la pièce. Quand peut-on la servir à $40$ °C ? $160\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} + 20 = 40 \iff \mathrm{e}^{-0{,}1t} = \dfrac18 \iff t = 10\ln 8 \approx 20{,}8$ minutes.

Leçon 7 : L'équation différentielle $y' = ay + f$

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 Le même raisonnement

Dans cette leçon, $a$ est un réel et $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ . Le second membre n'est plus constant. On ne sait pas toujours trouver une solution, mais dès qu'on en connaît une, on les a toutes.

Théorème. Soit $p$ une solution particulière de l'équation $(E) : y' = ay + f$ sur $I$ . Les solutions de $(E)$ sur $I$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax} + p(x), \qquad \text{où } C \text{ est un réel quelconque.}$

Justification. Comme $p$ est solution, $p' = ap + f$ . Pour toute fonction $y$ dérivable sur $I$ , posons $z = y - p$ . Alors $y' = ay + f \iff y' - p' = ay + f - ap - f \iff z' = az.$ Le raisonnement de la leçon 5 s'applique sur l'intervalle $I$ : $z(x) = C\,\mathrm{e}^{ax}$ , donc $y(x) = C\,\mathrm{e}^{ax} + p(x)$ .

La leçon 6 est le cas où $f$ est la constante $b$ et $p$ la solution constante.

7.2 La méthode

Vérifier que la fonction $p$ donnée est solution de $(E)$ (ou la déterminer, si l'énoncé en donne la forme).
Écrire les solutions de $y' = ay$ .
Ajouter $p$ : les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax} + p(x)$ .
Utiliser la condition initiale, s'il y en a une, pour trouver $C$ .

Attention à ne pas confondre : on ajoute $p$ , et non pas $f$ .

Exemple 35. Soit $(E) : y' = 2y - 2x + 1$ . Vérifier que $p : x \mapsto x$ est solution, puis résoudre $(E)$ . $p'(x) = 1$ et $2p(x) - 2x + 1 = 2x - 2x + 1 = 1$ : $p$ est solution. Les solutions de $(E)$ sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{2x} + x$ .

Exemple 36. Soit $(E) : y' + y = 2\,\mathrm{e}^{-x}$ . Vérifier que $p : x \mapsto 2x\,\mathrm{e}^{-x}$ est solution, puis trouver la solution telle que $y(0) = 1$ . On a $(E) \iff y' = -y + 2\,\mathrm{e}^{-x}$ . De plus $p'(x) = 2\,\mathrm{e}^{-x} - 2x\,\mathrm{e}^{-x}$ , donc $p'(x) + p(x) = 2\,\mathrm{e}^{-x}$ : $p$ est solution. Les solutions sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{-x} + 2x\,\mathrm{e}^{-x} = (2x + C)\,\mathrm{e}^{-x}$ . La condition $y(0) = C = 1$ donne la solution $x \mapsto (2x + 1)\,\mathrm{e}^{-x}$ .

Exemple 37. Soit $(E) : y' = y - 2\sin x$ . La fonction $p : x \mapsto \sin x + \cos x$ est solution : $p'(x) = \cos x - \sin x$ et $p(x) - 2\sin x = \cos x - \sin x$ . Les solutions de $(E)$ sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^x + \sin x + \cos x$ .

Exemple 38 (trouver $p$ quand sa forme est donnée). Soit $(E) : y' = 2y + 4x$ . On cherche une solution de la forme $p(x) = \alpha x + \beta$ . Alors $p'(x) = \alpha$ , et $(E)$ donne, pour tout réel $x$ , $\alpha = 2\alpha x + 2\beta + 4x, \quad\text{soit}\quad (2\alpha + 4)x + 2\beta - \alpha = 0.$ Cette égalité vraie pour tout $x$ impose $2\alpha + 4 = 0$ et $2\beta - \alpha = 0$ : $\alpha = -2$ et $\beta = -1$ . Donc $p(x) = -2x - 1$ , et les solutions de $(E)$ sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{2x} - 2x - 1$ .

7.3 Un problème : la serre au petit matin

Exemple 39. Le chauffage d'une serre s'éteint à $6$ heures du matin. On note $t$ le temps écoulé depuis ce moment, en heures. La température extérieure monte régulièrement : elle vaut $10 + t$ degrés Celsius pendant les six heures suivantes. On admet que la température $T(t)$ de la serre vérifie $T' = -0{,}5\,\big(T - (10 + t)\big), \qquad T(0) = 20.$ En développant : $T' = -0{,}5\,T + 5 + 0{,}5\,t$ . Solution particulière. La fonction $p : t \mapsto t + 8$ convient : $p'(t) = 1$ et $-0{,}5(t + 8) + 5 + 0{,}5t = 1$ . Toutes les solutions. $T(t) = C\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} + t + 8$ . La condition $T(0) = C + 8 = 20$ donne $C = 12$ : $T(t) = 12\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} + t + 8.$ Lecture. $T'(t) = -6\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} + 1$ s'annule pour $\mathrm{e}^{-0{,}5t} = \dfrac16$ , soit $t = 2\ln 6 \approx 3{,}58$ . La serre se refroidit jusqu'à ce moment, vers $9$ h $35$ , où sa température minimale vaut $T(2\ln 6) = 10 + 2\ln 6 \approx 13{,}6$ °C, puis elle se réchauffe en suivant l'extérieur.

Leçon 8 : La méthode d'Euler en Python

Voir la vidéo de la leçon 8

8.1 L'idée

On ne sait pas toujours résoudre une équation différentielle exactement. Le programme cite Euler parmi ceux qui ont structuré ces résolutions, aux côtés de Newton, D'Alembert, Lagrange, Cauchy, Clairaut et Riccati. La méthode d'Euler en donne une solution approchée. Elle repose sur la tangente : près d'un point, la courbe est proche de sa tangente. Pour $h$ proche de $0$ , $y(x + h) \approx y(x) + h\,y'(x).$ On part du point $(x_0\,;y_0)$ et on avance par petits pas de longueur $h$ , chaque fois le long de la droite dont le coefficient directeur est donné par l'équation. On obtient une ligne brisée proche de la courbe de la solution.

8.2 Le cas de $y' = f$

Pour l'équation $y' = f$ avec $y(x_0) = y_0$ , on calcule de proche en proche : $x_{k+1} = x_k + h, \qquad y_{k+1} = y_k + h\,f(x_k).$

En langage naturel (« $\leftarrow$ » se lit « prend la valeur »), une étape s'écrit : $y \leftarrow y + h \times f(x)$ , puis $x \leftarrow x + h$ .

Exemple 40. Pour $y' = \dfrac1x$ avec $y(1) = 0$ , la solution exacte est $\ln$ . Avec $h = 0{,}1$ , le premier pas donne $y_1 = 0 + 0{,}1 \times \dfrac11 = 0{,}1$ , le deuxième $y_2 = 0{,}1 + 0{,}1 \times \dfrac{1}{1{,}1} \approx 0{,}190\,9$ . Après $10$ pas, on arrive à $x = 2$ avec $y \approx 0{,}718\,8$ , alors que $\ln 2 \approx 0{,}693\,1$ . Avec $h = 0{,}01$ et $100$ pas, on obtient $0{,}695\,7$ ; avec $h = 0{,}001$ et $1000$ pas, $0{,}693\,4$ .

En Python. On range les valeurs dans deux listes, construites par ajouts successifs.

from math import exp

def euler(f, x0, y0, h, n):
    X = [x0]
    Y = [y0]
    for k in range(n):
        Y.append(Y[k] + h * f(X[k]))
        X.append(X[k] + h)
    return X, Y

def f(x):
    return exp(-x**2)

X, Y = euler(f, 0, 0, 0.1, 10)
print(Y[10])

Ce programme traite la fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{-x^2}$ , qui n'a pas de primitive explicite. Il affiche 0.7778168240731773, valeur approchée de $y(1)$ pour la solution telle que $y(0) = 0$ . Avec un pas de 0.01 et $100$ pas, on obtient 0.7499786042621127 ; avec 0.001 et $1000$ pas, 0.747140131778599. La valeur approchée se stabilise vers $0{,}747$ .

8.3 Le cas de $y' = ay + b$

La dérivée dépend maintenant de $y$ . On remplace $y'$ par $ay + b$ : $x_{k+1} = x_k + h, \qquad y_{k+1} = y_k + h\,(a\,y_k + b).$ La suite $(y_k)$ vérifie $y_{k+1} = (1 + ah)\,y_k + hb$ : c'est une suite arithmético-géométrique.

def euler2(a, b, x0, y0, h, n):
    X = [x0]
    Y = [y0]
    for k in range(n):
        Y.append(Y[k] + h * (a * Y[k] + b))
        X.append(X[k] + h)
    return X, Y

X, Y = euler2(1, 0, 0, 1, 0.01, 100)
print(Y[100])

Ce programme traite $y' = y$ avec $y(0) = 1$ , dont la solution est l'exponentielle : il affiche une valeur approchée de $\mathrm{e}$ . Tu as vu cette construction en Première. Ici $y_k = (1 + h)^k$ .

Pas $h$	Nombre de pas	Valeur approchée de $\mathrm{e}$	Écart avec $\mathrm{e} \approx 2{,}718\,28$
$0{,}5$	$2$	$2{,}25$	$0{,}468$
$0{,}1$	$10$	$2{,}593\,7$	$0{,}125$
$0{,}01$	$100$	$2{,}704\,8$	$0{,}013\,5$
$0{,}001$	$1000$	$2{,}716\,9$	$0{,}001\,4$

Ce que l'on observe. Quand on divise le pas par $10$ , l'écart est à peu près divisé par $10$ . Pour gagner une décimale, il faut dix fois plus de calculs.

Exemple 41 (la tarte). On reprend $T' = -0{,}1\,T + 2$ avec $T(0) = 180$ . Avec un pas de $5$ minutes, $y_{k+1} = 0{,}5\,y_k + 10$ et on obtient :

$t$ $0$ $5$ $10$ $15$ $20$

Euler, $h = 5$ $180$ $100$ $60$ $40$ $30$

Solution exacte $180$ $117{,}04$ $78{,}86$ $55{,}70$ $41{,}65$

L'approximation est grossière. Avec euler2(-0.1, 2, 0, 180, 0.1, 200), on trouve $41{,}44$ à $t = 20$ , et avec un pas de $0{,}01$ , $41{,}63$ : on se rapproche de la valeur exacte $41{,}65$ .

$t$	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$
Euler, $h = 5$	$180$	$100$	$60$	$40$	$30$
Solution exacte	$180$	$117{,}04$	$78{,}86$	$55{,}70$	$41{,}65$

À quoi ça sert, puisqu'on sait résoudre ? Pour les équations du chapitre, on peut comparer à la solution exacte et voir comment se comporte la méthode. Mais elle s'applique aussi aux équations que l'on ne sait pas résoudre : c'est son intérêt principal.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

Une équation différentielle a pour inconnue une fonction. Pour vérifier qu'une fonction est solution, on calcule les deux membres et on compare.
Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$ : c'est une solution de $y' = f$ . Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (admis ici, chapitre 14), même si certaines ne s'écrivent pas explicitement, comme celles de $x \mapsto \mathrm{e}^{-x^2}$ .
Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante : si $F$ est une primitive, toutes les primitives sont les $F + c$ . Une seule vérifie une condition $F(x_0) = y_0$ .
Primitives de référence : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ( $n \neq -1$ ), $\dfrac1x \to \ln x$ sur $]0\,;+\infty[$ , $\dfrac{1}{\sqrt x} \to 2\sqrt x$ , $\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x$ , $\sin x \to -\cos x$ , $\cos x \to \sin x$ . Une primitive d'une somme est la somme des primitives ; il n'y a pas de règle pour un produit.
$v \circ u$ est une primitive de $(v' \circ u) \times u'$ : $u'\,\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$ , $u'\,u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ , $\dfrac{u'}{u} \to \ln(u)$ si $u > 0$ , $\dfrac{u'}{\sqrt u} \to 2\sqrt u$ . Seul un facteur constant peut être ajusté. On vérifie en dérivant.
Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}$ (démontré avec $z(x) = y(x)\,\mathrm{e}^{-ax}$ ). Une condition initiale donne une seule solution.
Pour $a \neq 0$ , les solutions de $y' = ay + b$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$ . Si $a < 0$ , elles tendent toutes vers la valeur d'équilibre $-\dfrac{b}{a}$ .
Si $p$ est une solution particulière de $y' = ay + f$ , toutes les solutions sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax} + p(x)$ .
Méthode d'Euler : $y(x + h) \approx y(x) + h\,y'(x)$ . Pour $y' = f$ : $y_{k+1} = y_k + h\,f(x_k)$ . Pour $y' = ay + b$ : $y_{k+1} = y_k + h\,(a\,y_k + b)$ . Plus le pas est petit, plus l'approximation est précise.