Les primitives de fonctions composées

4.1 La dérivée d'une composée, lue à l'envers

Au chapitre 5, on a vu que $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$. Lue de droite à gauche, cette formule donne le résultat principal de la leçon.

Propriété. Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si $v$ est dérivable sur un intervalle contenant les valeurs de $u$, alors $v \circ u$ est une primitive de $(v' \circ u) \times u'$ sur $I$.

Pour reconnaître cette forme, on cherche dans la fonction un morceau $u$ dont la dérivée $u'$ est aussi présente, en facteur.

4.2 Le tableau

$u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

Si $u < 0$ sur $I$, une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln(-u)$. Le cas $n = -2$ mérite d'être retenu : une primitive de $\dfrac{u'}{u^2}$ est $-\dfrac1u$.

Cas particulier très fréquent : $u(x) = ax + b$, avec $a \neq 0$. Alors $u' = a$. Si $F$ est une primitive de $f$, une primitive de $x \mapsto f(ax + b)$ est $x \mapsto \frac1a\,F(ax + b).$ Ainsi $\mathrm{e}^{2x}$ a pour primitive $\frac12\,\mathrm{e}^{2x}$, et $\cos(3x)$ a pour primitive $\frac13\sin(3x)$.

4.3 La méthode

1. Repérer $u$ et calculer $u'$.
2. Faire apparaître $u'$ en ajustant un facteur constant si nécessaire.
3. Écrire la primitive à l'aide du tableau.
4. Vérifier en dérivant.

4.4 Exemples

Exemple 18 ($u'\,\mathrm{e}^u$). $f : x \mapsto 2x\,\mathrm{e}^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$. Avec $u(x) = x^2$, $u'(x) = 2x$ : c'est exactement $u'\,\mathrm{e}^u$. Une primitive est $F : x \mapsto \mathrm{e}^{x^2}$.

Exemple 19 (ajuster un facteur). $g : x \mapsto x\,\mathrm{e}^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$. Avec $u(x) = -x^2$, $u'(x) = -2x$. Il manque le facteur $-2$ : $g(x) = -\dfrac12 \times \left(-2x\,\mathrm{e}^{-x^2}\right)$. Une primitive est $G : x \mapsto -\dfrac12\,\mathrm{e}^{-x^2}$.

Exemple 20 ($u'\,u^n$). $f : x \mapsto (2x + 1)\left(x^2 + x + 3\right)^3$ sur $\mathbb{R}$. Avec $u(x) = x^2 + x + 3$, $u'(x) = 2x + 1$ et $f = u'\,u^3$. Une primitive est $F : x \mapsto \dfrac14\left(x^2 + x + 3\right)^4$.

Exemple 21 (ajuster un facteur). $g : x \mapsto x^2\left(x^3 + 1\right)^4$ sur $\mathbb{R}$. Avec $u(x) = x^3 + 1$, $u'(x) = 3x^2$, donc $g = \dfrac13\,u'\,u^4$. Une primitive est $G : x \mapsto \dfrac{1}{15}\left(x^3 + 1\right)^5$.

Exemple 22 ($u'/u$). $f : x \mapsto \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$. Ici $u(x) = x^2 + 1 > 0$, et $f = \dfrac{u'}{u}$. Une primitive est $F : x \mapsto \ln\left(x^2 + 1\right)$.

Exemple 23 ($u'/u$). $g : x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x + 1}$ sur $\mathbb{R}$. Ici $u(x) = \mathrm{e}^x + 1 > 0$. Une primitive est $G : x \mapsto \ln\left(\mathrm{e}^x + 1\right)$.

Exemple 24 ($u'/\sqrt u$). $f : x \mapsto \dfrac{2x + 3}{\sqrt{x^2 + 3x + 5}}$ sur $\mathbb{R}$. Le trinôme $x^2 + 3x + 5$ a pour discriminant $-11 < 0$ : il est strictement positif. Avec $u(x) = x^2 + 3x + 5$, $f = \dfrac{u'}{\sqrt u}$. Une primitive est $F : x \mapsto 2\sqrt{x^2 + 3x + 5}$.

Exemple 25 (avec le logarithme). $f : x \mapsto \dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. Avec $u(x) = \ln x$, $u'(x) = \dfrac1x$, et $f = u'\,u$. Une primitive est $F : x \mapsto \dfrac12(\ln x)^2$.

Exemple 26 (trigonométrie). $f : x \mapsto \sin x\,\cos^2 x$ sur $\mathbb{R}$. Avec $u(x) = \cos x$, $u'(x) = -\sin x$, donc $f = -u'\,u^2$. Une primitive est $F : x \mapsto -\dfrac13\cos^3 x$. De même, sur $\left]-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right[$, où $\cos x > 0$, la fonction $x \mapsto \dfrac{\sin x}{\cos x}$ a pour primitive $x \mapsto -\ln(\cos x)$.

Exemple 27 (forme $ax + b$). Sur $\left]-\dfrac12\,;+\infty\right[$, $x \mapsto \dfrac{1}{2x + 1}$ a pour primitive $x \mapsto \dfrac12\ln(2x + 1)$. Sur $\mathbb{R}$, $x \mapsto \sin\left(4x - 1\right)$ a pour primitive $x \mapsto -\dfrac14\cos\left(4x - 1\right)$.

4.5 Les limites de la méthode

Seul un facteur constant peut être ajusté. Pour $x \mapsto \mathrm{e}^{-x^2}$, avec $u(x) = -x^2$, il manque le facteur $-2x$ : il n'est pas constant, on ne peut pas conclure. C'est normal, cette fonction n'a pas de primitive explicite. Pour $x \mapsto x\,\mathrm{e}^x$, la méthode ne s'applique pas non plus : une primitive existe, mais on la trouvera par une autre technique au chapitre 14.