Équations différentielles et primitives

1.1 Une équation dont l'inconnue est une fonction

Un tramway quitte sa station. Pendant les dix premières secondes, sa vitesse à l'instant $t$ (en secondes) est $v(t) = t$, en mètres par seconde. On note $d(t)$ la distance parcourue, en mètres. La vitesse est la dérivée de la distance, donc $d'(t) = t.$ On connaît la dérivée, on cherche la fonction : l'inconnue est la fonction $d$, pas un nombre. La fonction $t \mapsto \frac12 t^2$ convient, car sa dérivée est $t$. Le tramway a alors parcouru $\frac12 \times 10^2 = 50$ mètres au bout de dix secondes.

Définition. Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, notée le plus souvent $y$, et qui fait intervenir la dérivée de cette fonction. Résoudre une équation différentielle sur un intervalle $I$, c'est trouver toutes les fonctions dérivables sur $I$ qui la vérifient pour tout réel de $I$. Chacune de ces fonctions est une solution.

Écriture. L'équation $y' = 2y$ est une écriture abrégée de : pour tout réel $x$ de $I$, $y'(x) = 2\,y(x)$.

Une solution est une fonction, et vérifier qu'une fonction est solution se fait toujours de la même manière : on calcule $y'$, on calcule l'autre membre, on compare.

Exemple 1. La fonction $g : x \mapsto \mathrm{e}^{2x}$ est solution de $y' = 2y$ sur $\mathbb{R}$ : $g'(x) = 2\,\mathrm{e}^{2x} = 2\,g(x)$. La fonction $h : x \mapsto x^2$ n'en est pas solution : $h'(2) = 4$, alors que $2\,h(2) = 8$. Une seule valeur de $x$ suffit pour conclure.

Exemple 2. La fonction $g : x \mapsto 3 - \mathrm{e}^{-x}$ est solution de $y' = -y + 3$ sur $\mathbb{R}$. D'une part $g'(x) = \mathrm{e}^{-x}$. D'autre part $-g(x) + 3 = -3 + \mathrm{e}^{-x} + 3 = \mathrm{e}^{-x}$.

Exemple 3 (pour découvrir, aucune connaissance n'est exigible). D'autres équations différentielles existent, et certaines de leurs solutions se vérifient facilement.

• $y' = y^2$ : la fonction $g : x \mapsto -\dfrac1x$ est solution sur $]0\,;+\infty[$, car $g'(x) = \dfrac{1}{x^2} = \left(-\dfrac1x\right)^2$.
• $y'' + \omega^2 y = 0$, où $\omega$ est un réel et $y''$ la dérivée seconde : la fonction $g : x \mapsto \cos(\omega x)$ est solution sur $\mathbb{R}$, car $g''(x) = -\omega^2\cos(\omega x)$. Cette équation décrit les oscillations, par exemple celles d'un ressort.

1.2 L'équation $y' = f$ et la notion de primitive

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Dans l'équation $y' = f$, la dérivée est donnée : on cherche une fonction qui l'admet pour dérivée.

Définition. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que, pour tout réel $x$ de $I$, $F'(x) = f(x).$ Autrement dit, les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les solutions de l'équation différentielle $y' = f$ sur $I$.

Chercher une primitive, c'est faire l'opération inverse de la dérivation.

$F \;\xrightarrow{\;\text{dérivation}\;}\; f \qquad\qquad f \;\xrightarrow{\;\text{primitive}\;}\; F$

Pour vérifier une primitive, on dérive. On doit retrouver exactement $f$. Ce réflexe est sûr et rapide : garde-le pendant tout le chapitre.

Exemple 4. La fonction $F : x \mapsto x^3 + 1$ est une primitive de $f : x \mapsto 3x^2$ sur $\mathbb{R}$, car $F'(x) = 3x^2$. La fonction $G : x \mapsto x^3 - 5$ en est une autre. Une fonction a donc plusieurs primitives : la leçon 2 dit exactement combien.

Exemple 5. La fonction $F : x \mapsto (x - 1)\,\mathrm{e}^x$ est une primitive de $f : x \mapsto x\,\mathrm{e}^x$ sur $\mathbb{R}$. On dérive un produit : $F'(x) = 1 \times \mathrm{e}^x + (x - 1)\,\mathrm{e}^x = x\,\mathrm{e}^x.$

Exemple 6. La fonction $F : x \mapsto x\ln x - x$ est une primitive de la fonction $\ln$ sur $]0\,;+\infty[$ : $F'(x) = 1 \times \ln x + x \times \frac1x - 1 = \ln x.$

1.3 Une primitive existe-t-elle toujours ?

Théorème (admis ici). Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Le programme demande de l'admettre dans ce chapitre : ce résultat revient au chapitre 14, avec le calcul intégral.

Exister ne veut pas dire s'écrire simplement. La fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{-x^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc elle admet des primitives. Pourtant, aucune de ses primitives ne s'écrit à l'aide des fonctions que tu connais : on dit qu'on ne dispose pas de primitive explicite. On peut quand même en calculer des valeurs approchées, avec la méthode d'Euler de la leçon 8.

1.4 Le signe de $f$ et les variations de $F$

Comme $F' = f$, le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation, vu en Première, s'applique à $F$ :

• si $f > 0$ sur un intervalle, $F$ y est strictement croissante ;
• si $f < 0$ sur un intervalle, $F$ y est strictement décroissante ;
• si $f$ s'annule en changeant de signe en $a$, $F$ admet un extremum local en $a$.

Exemple 7. Soit $f : x \mapsto x^2 - 1$ sur $\mathbb{R}$ et $F$ une primitive de $f$. $f$ est positive à l'extérieur de $[-1\,;1]$ et négative à l'intérieur. Donc $F$ croît sur $]-\infty\,;-1]$, décroît sur $[-1\,;1]$, croît sur $[1\,;+\infty[$. Elle admet un maximum local en $-1$ et un minimum local en $1$, quelle que soit la primitive choisie.