Représentation paramétrique d'une droite

1.1 D'une égalité vectorielle à trois équations

Au chapitre 3 : la droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ (non nul) est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u} \quad \text{pour un réel } t.$ Avec des coordonnées, $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$, $\vec{u}\,(a\,;b\,;c)$ et $M(x\,;y\,;z)$, cette égalité de vecteurs s'écrit coordonnée par coordonnée : $x - x_A = ta$, $y - y_A = tb$ et $z - z_A = tc$.

1.2 Définition

Propriété et définition. La droite $d$ passant par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\,(a\,;b\,;c)$ est l'ensemble des points $M(x\,;y\,;z)$ tels que $\begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \\ z = z_A + tc \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}.$ Ce système est une représentation paramétrique de $d$ ; le réel $t$ est le paramètre.

Chaque valeur de $t$ donne un point de $d$, et chaque point de $d$ est obtenu pour une seule valeur de $t$ : le paramètre repère le point sur la droite, comme une abscisse sur un axe gradué. Pour $t = 0$, on obtient $A$ ; pour $t = 1$, le point $B$ tel que $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$.

Exemple 1. La droite $d$ passe par $A(1\,;-2\,;3)$ et elle est dirigée par $\vec{u}\,(2\,;1\,;-1)$. Une représentation paramétrique de $d$ est $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + t \\ z = 3 - t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}.$ Pour $t = 2$, on obtient le point $(5\,;0\,;1)$ ; pour $t = -1$, le point $(-1\,;-3\,;4)$.

Exemple 2 (droite passant par deux points). $A(2\,;0\,;-1)$ et $B(4\,;3\,;1)$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}\,(2\,;3\,;2)$ dirige la droite $(AB)$, qui passe par $A$ : $(AB) : \begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 3t \\ z = -1 + 2t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}.$

Exemple 3 (dans le cube). La grande diagonale $(AG)$ passe par $A(0\,;0\,;0)$ et elle est dirigée par $\overrightarrow{AG}\,(1\,;1\,;1)$ : $x = t$, $y = t$, $z = t$. La diagonale $(BH)$ passe par $B(1\,;0\,;0)$ et elle est dirigée par $\overrightarrow{BH}\,(-1\,;1\,;1)$ : $x = 1 - s$, $y = s$, $z = s$. Quand on étudie deux droites ensemble, on donne à leurs paramètres des noms différents ($t$ et $s$).

1.3 Lire une représentation paramétrique

Dans une représentation paramétrique, on lit :

• les coordonnées d'un point de la droite : les termes constants (c'est le point obtenu pour $t = 0$) ;
• les coordonnées d'un vecteur directeur : les coefficients de $t$, sans en oublier aucun (un coefficient peut être nul).

Exemple 4. Le système $x = 4 - t$, $y = 2$, $z = 1 + 3t$ ($t \in \mathbb{R}$) représente la droite passant par $C(4\,;2\,;1)$ et dirigée par $\vec{w}\,(-1\,;0\,;3)$. Le coefficient de $t$ dans la deuxième ligne est $0$ : la deuxième coordonnée de $\vec{w}$ est nulle.

Attention : une droite a une infinité de représentations paramétriques. On peut partir d'un autre point de la droite, ou prendre un autre vecteur directeur (colinéaire à $\vec{u}$). Pour savoir si deux représentations décrivent la même droite, on vérifie que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires et qu'un point de l'une est sur l'autre.

Exemple 5. Le système $x = -3 - 4s$, $y = -4 - 2s$, $z = 5 + 2s$ ($s \in \mathbb{R}$) représente la droite $d$ de l'exemple 1. En effet, son vecteur directeur $(-4\,;-2\,;2)$ est égal à $-2\,\vec{u}$, et son point $(-3\,;-4\,;5)$, obtenu pour $s = 0$, est sur $d$ (exemple 6 : c'est le point de paramètre $t = -2$).

1.4 Un point est-il sur la droite ?

Méthode. Le point $M$ est sur $d$ si et seulement s'il existe un même réel $t$ qui vérifie les trois équations. On trouve $t$ avec une équation, puis on vérifie les deux autres.

Exemple 6. Avec la droite $d$ de l'exemple 1 : $x = 1 + 2t$, $y = -2 + t$, $z = 3 - t$.

• $B(-3\,;-4\,;5)$ : la première équation donne $1 + 2t = -3$, soit $t = -2$. Alors $y = -2 - 2 = -4$ et $z = 3 + 2 = 5$ : ce sont bien les coordonnées de $B$. $B \in d$, avec $t = -2$.
• $C(3\,;-1\,;1)$ : la première équation donne $t = 1$, et la deuxième aussi ($-2 + 1 = -1$). Mais la troisième donne $z = 3 - 1 = 2 \neq 1$. Aucun réel ne convient : $C \notin d$.

Une seule équation ne suffit jamais : le point $C$ vérifie les deux premières.

1.5 Segment, demi-droite, mouvement rectiligne

• Si $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$, les points de paramètre $t \in [0\,;1]$ forment le segment $[AB]$, et ceux de paramètre $t \geq 0$ la demi-droite $[AB)$. Le milieu de $[AB]$ est le point de paramètre $\frac12$.
• Si $t$ désigne un temps, le point $M(t)$ est la position d'un objet qui avance en ligne droite, toujours à la même vitesse : il parcourt le vecteur $\vec{u}$ pendant chaque unité de temps. Sa vitesse est $\lVert\vec{u}\rVert$ (la norme se calcule ainsi parce que le repère est orthonormé, chapitre 9). C'est le mouvement rectiligne uniforme de la physique.