Décomposer une variable en somme de variables simples

6.1 La méthode

1. Repérer ce que la variable compte ou additionne.
2. Écrire $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$, avec des variables simples, souvent des variables qui valent $1$ ou $0$.
3. Espérance : calculer les $E(X_i)$ et les additionner. La linéarité marche toujours, même si les $X_i$ ne sont pas indépendantes.
4. Variance : additionner les $V(X_i)$ seulement si les $X_i$ sont indépendantes.

Une variable qui vaut $1$ ou $0$ suit une loi de Bernoulli : si $P(X_i = 1) = p_i$, alors $E(X_i) = p_i$ et $V(X_i) = p_i(1 - p_i)$.

6.2 Des probabilités différentes

Exemple 7 (trois candidatures). Lou envoie trois candidatures pour un travail d'été, à des employeurs différents. Elle obtient une réponse positive avec les probabilités $0{,}3$, $0{,}5$ et $0{,}6$, indépendamment. Soit $X$ le nombre de réponses positives. Les probabilités diffèrent : $X$ ne suit pas une loi binomiale.

On écrit $X = X_1 + X_2 + X_3$, où $X_i = 1$ si la candidature numéro $i$ aboutit. Alors :

• $E(X) = 0{,}3 + 0{,}5 + 0{,}6 = 1{,}4$ ;
• les $X_i$ sont indépendantes, donc $V(X) = 0{,}3 \times 0{,}7 + 0{,}5 \times 0{,}5 + 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}21 + 0{,}25 + 0{,}24 = 0{,}7$.

On le vérifie avec la loi de $X$ : $P(X = 0) = 0{,}14$, $P(X = 1) = 0{,}41$, $P(X = 2) = 0{,}36$ et $P(X = 3) = 0{,}09$.

6.3 Une variable dont la loi est difficile

Exemple 8 (un échange de cadeaux). Pour un échange de cadeaux à Noël, $n$ amis écrivent leur nom sur un papier, et chacun en tire un au hasard, sans remise. Soit $X$ le nombre d'amis qui tirent leur propre nom. La loi de $X$ est difficile à obtenir pour $n$ quelconque.

On écrit $X = X_1 + \cdots + X_n$, où $X_i = 1$ si l'ami numéro $i$ tire son propre nom. Chaque ami a la même chance de tirer chacun des $n$ noms : $E(X_i) = P(X_i = 1) = \dfrac1n$. Par linéarité, $E(X) = n \times \frac1n = 1.$ Quel que soit le nombre d'amis, on attend une seule personne qui tire son propre nom.

Vérification pour $n = 4$. Il y a $4! = 24$ tirages possibles. En les énumérant, on obtient :

$k$	$0$	$1$	$2$	$4$
$P(X = k)$	$\dfrac{9}{24}$	$\dfrac{8}{24}$	$\dfrac{6}{24}$	$\dfrac{1}{24}$

On trouve bien $E(X) = \dfrac{0 + 8 + 12 + 4}{24} = 1$.

Attention à la variance. Les $X_i$ ne sont pas indépendantes : avec deux amis, si l'un tire son nom, l'autre aussi. Pour $n = 4$, le calcul direct donne $V(X) = 1$, alors que la somme des variances vaut $4 \times \dfrac14 \times \dfrac34 = 0{,}75$.

6.4 Un tirage sans remise

Exemple 9 (des jetons). Un sac contient $10$ jetons, dont $3$ rouges. On en tire $4$ au hasard, sans remise. Soit $X$ le nombre de jetons rouges obtenus. Ce n'est pas une loi binomiale, car les tirages ne sont pas indépendants.

On écrit $X = X_1 + X_2 + X_3 + X_4$, où $X_i = 1$ si le jeton tiré au rang $i$ est rouge. Par symétrie, le jeton tiré au rang $i$ peut être chacun des $10$ jetons, avec la même probabilité : $E(X_i) = \dfrac{3}{10}$. Par linéarité, $E(X) = 4 \times \frac{3}{10} = 1{,}2.$

6.5 Un score

Exemple 10 (points négatifs). Un questionnaire compte $20$ questions à quatre réponses. Une bonne réponse rapporte $3$ points, une mauvaise en retire $1$. Un candidat répond au hasard à toutes les questions. Le nombre $X$ de bonnes réponses suit la loi $\mathcal{B}(20\,;0{,}25)$, et son score est $Y = 3X - (20 - X) = 4X - 20.$ Comme $E(X) = 5$ et $V(X) = 3{,}75$, on obtient $E(Y) = 4 \times 5 - 20 = 0$ et $V(Y) = 4^2 \times 3{,}75 = 60$. Répondre au hasard ne rapporte rien en moyenne, mais le score reste très dispersé : $\sigma(Y) = \sqrt{60} \approx 7{,}75$.