Fonction racine carrée

3.1 La fonction racine carrée

Pour $x \geq 0$, la racine carrée de $x$, notée $\sqrt{x}$, est le nombre positif dont le carré vaut $x$. Par exemple, $\sqrt9 = 3$, car $3^2 = 9$ et $3 \geq 0$.

La fonction racine carrée est définie sur $[0\,;+\infty[$. On ne définit pas la racine carrée d'un nombre négatif.

Sa courbe part de l'origine et passe par les points $(1\,;1)$, $(4\,;2)$ et $(9\,;3)$.

Automatisme (racines carrées). Pour $x \geq 0$ : $\left(\sqrt{x}\right)^2 = x$ et $\sqrt{x} \times \sqrt{x} = x$. Par exemple, $\sqrt{0{,}01} = 0{,}1$, $\sqrt{\dfrac14} = \dfrac12$.

3.2 Sa dérivée

Propriété. La fonction racine carrée est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, et si $f(x) = \sqrt{x}$, alors $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.$

Attention : $0$ est exclu, alors que la fonction y est définie. La suite explique pourquoi.

Exemple 8. $f'(1) = \dfrac12$, $f'(4) = \dfrac14$, $f'(9) = \dfrac16$ et $f'(100) = \dfrac{1}{20}$. On retrouve la valeur $f'(1) = 0{,}5$, observée au chapitre 5 sur des tableaux de valeurs.

3.3 D'où vient la formule

Soit $a > 0$ et $h$ non nul, assez petit pour que $a + h$ soit positif. D'après l'identité $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ : $\left(\sqrt{a + h} - \sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right) = (a + h) - a = h.$ Le taux de variation vaut donc $\frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}}.$ Quand $h$ se rapproche de $0$, $\sqrt{a + h}$ se rapproche de $\sqrt{a}$, et le taux se rapproche de $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$.

3.4 Deux utilisations

Exemple 9 (une tangente et une valeur approchée). Au point d'abscisse $4$ : $f(4) = 2$ et $f'(4) = \dfrac14$. La tangente a pour équation $y = 2 + \dfrac14(x - 4)$, soit $y = \dfrac14x + 1$. On en déduit $\sqrt{4{,}1} \approx 2 + \dfrac14 \times 0{,}1 = 2{,}025$.

Exemple 10 (une pelouse carrée). Une pelouse carrée d'aire $A$, en mètres carrés, a pour côté $c(A) = \sqrt{A}$, en mètres. Pour $A = 100$, le côté mesure $10$ mètres et $c'(100) = \frac{1}{2\sqrt{100}} = \frac{1}{20} = 0{,}05.$ L'unité est le mètre par mètre carré. Chaque mètre carré de plus allonge le côté d'environ $5$ centimètres. Pour $102$ mètres carrés : $c(102) \approx 10 + 0{,}05 \times 2 = 10{,}1$ mètres.

3.5 Pas dérivable en $0$

Propriété. La fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$.

Démonstration (à connaître). La fonction n'est pas définie à gauche de $0$ : on prend $h > 0$. Le taux de variation entre $0$ et $h$ vaut $\frac{\sqrt{h} - \sqrt{0}}{h} = \frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{\sqrt{h}}{\sqrt{h} \times \sqrt{h}} = \frac{1}{\sqrt{h}}.$

Quand $h$ se rapproche de $0$, $\sqrt{h}$ se rapproche de $0$ et $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ devient aussi grand qu'on veut. Le taux ne se rapproche d'aucun nombre : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$. $\blacksquare$

3.6 Sur la courbe

Quand le point $M$ de la courbe glisse vers l'origine, la sécante $(OM)$ se redresse, et elle se rapproche de l'axe des ordonnées : la courbe part à la verticale. Or une droite verticale n'a pas de coefficient directeur. Il n'y a donc pas de nombre dérivé en $0$, alors que la fonction y est bien définie.

À retenir : une fonction peut être définie en un point sans y être dérivable.