Dérivée d'une somme et d'un produit

Dans toute cette leçon, $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.

5.1 Somme

Propriété. La fonction $u + v$ est dérivable sur $I$, et $(u + v)' = u' + v'$.

En effet, le taux de variation de la somme est la somme des deux taux : $\frac{(u + v)(a + h) - (u + v)(a)}{h} = \frac{u(a + h) - u(a)}{h} + \frac{v(a + h) - v(a)}{h}.$ Quand $h$ se rapproche de $0$, il se rapproche de $u'(a) + v'(a)$.

5.2 Produit par un nombre

Propriété. Si $k$ est un nombre fixé, la fonction $ku$ est dérivable sur $I$, et $(ku)' = k\,u'$.

Le taux de variation est simplement multiplié par $k$.

Exemple 13. $(5x^2)' = 5 \times 2x = 10x$. Et pour $x > 0$, $\left(\dfrac{7}{x}\right)' = 7 \times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = -\dfrac{7}{x^2}$.

Exemple 14 (une trottinette). Pour un trajet de $6$ kilomètres à la vitesse $v$, en kilomètres par heure, la durée en minutes est $t(v) = \dfrac{360}{v}$. On a $t(20) = 18$ et $t'(v) = -\dfrac{360}{v^2}$, donc $t'(20) = -0{,}9$. À $20$ kilomètres par heure, un kilomètre par heure de plus fait gagner environ $0{,}9$ minute.

5.3 Polynômes

Ces deux règles permettent de dériver un polynôme terme à terme.

Exemple 15. Si $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$, alors $f'(x) = 6x - 5$. Si $g(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 1$, alors $g'(x) = 3x^2 - 4x + 4$.

Second degré. Si $f(x) = ax^2 + bx + c$, alors $f'(x) = 2ax + b$.

Exemple 16 (tangente horizontale). Soit $f(x) = x^2 - 4x + 1$. On a $f'(x) = 2x - 4$. La tangente est horizontale quand $f'(x) = 0$, soit $x = 2$ : c'est le point $(2\,;-3)$. Au point d'abscisse $3$ : $f(3) = -2$ et $f'(3) = 2$, donc la tangente a pour équation $y = 2x - 8$.

5.4 Produit

Imaginons un rectangle de côtés $u$ et $v$, d'aire $u \times v$. Pendant un petit déplacement $h$, le côté $u$ grandit d'environ $u'h$, et le côté $v$ d'environ $v'h$. L'aire gagne une bande $u'h \times v$, une bande $u \times v'h$ et un tout petit coin. Divisée par $h$, cette augmentation se rapproche de $u'v + uv'$.

Propriété. La fonction $uv$ est dérivable sur $I$, et $(uv)' = u'v + uv'$.

Démonstration (à connaître). Soit $a$ dans $I$ et $h$ non nul tel que $a + h$ soit dans $I$. On ajoute et on retire le même terme $u(a)\,v(a + h)$ : $u(a + h)\,v(a + h) - u(a)\,v(a) = \big[u(a + h) - u(a)\big]\,v(a + h) + u(a)\,\big[v(a + h) - v(a)\big].$ En divisant par $h$, le taux de variation de $uv$ vaut $\frac{u(a + h) - u(a)}{h} \times v(a + h) + u(a) \times \frac{v(a + h) - v(a)}{h}.$ Quand $h$ se rapproche de $0$, le premier quotient se rapproche de $u'(a)$ et le second de $v'(a)$. De plus, comme $v(a + h) = v(a) + h \times \frac{v(a + h) - v(a)}{h},$ $v(a + h)$ se rapproche de $v(a)$. Le taux se rapproche donc de $u'(a)\,v(a) + u(a)\,v'(a)$. $\blacksquare$

5.5 Exemples

Exemple 17. Soit $f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$. On pose $u(x) = 2x + 1$, $u'(x) = 2$, $v(x) = x^2 - 3$, $v'(x) = 2x$. Alors $f'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x + 1) \times 2x = 6x^2 + 2x - 6.$ Vérification : $f(x) = 2x^3 + x^2 - 6x - 3$, dont la dérivée est bien $6x^2 + 2x - 6$.

Exemple 18. Soit $f(x) = x\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. Avec $u(x) = x$ et $v(x) = \sqrt{x}$ : $f'(x) = 1 \times \sqrt{x} + x \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac32\sqrt{x},$ car $\dfrac{x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x} \times \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x}}{2}$.

Exemple 19 (un carré). Soit $f(x) = (3x - 2)^2 = (3x - 2)(3x - 2)$. Avec $u = v$ et $u'(x) = 3$ : $f'(x) = 3(3x - 2) + (3x - 2) \times 3 = 18x - 12.$ Vérification : $f(x) = 9x^2 - 12x + 4$, dont la dérivée est bien $18x - 12$.

5.6 Le piège

Attention. La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Contre-exemple : avec $u(x) = x$ et $v(x) = x$, le produit vaut $x^2$, de dérivée $2x$, alors que $u'(x)\,v'(x) = 1 \times 1 = 1$.