Développements et produit scalaire à l'aide de normes

7.1 Trois développements

Comme $\lVert\vec{u}\rVert^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$, la bilinéarité et la symétrie donnent : $\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 = \lVert\vec{u}\rVert^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \lVert\vec{v}\rVert^2,$ $\lVert\vec{u} - \vec{v}\rVert^2 = \lVert\vec{u}\rVert^2 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \lVert\vec{v}\rVert^2,$ $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \lVert\vec{u}\rVert^2 - \lVert\vec{v}\rVert^2.$ On reconnait les identités remarquables, mais le double produit est ici un produit scalaire.

7.2 Le produit scalaire à l'aide de normes

En isolant $\vec{u} \cdot \vec{v}$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac12\left(\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 - \lVert\vec{u}\rVert^2 - \lVert\vec{v}\rVert^2\right) = \frac12\left(\lVert\vec{u}\rVert^2 + \lVert\vec{v}\rVert^2 - \lVert\vec{u} - \vec{v}\rVert^2\right).$

Exemple 19. Si $\lVert\vec{u}\rVert = 3$, $\lVert\vec{v}\rVert = 5$ et $\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert = 7$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac12(49 - 9 - 25) = \dfrac{15}{2}$.

7.3 Dans un triangle

Avec $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$, on a $\vec{u} - \vec{v} = \overrightarrow{CB}$. Donc, dans tout triangle $ABC$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac12\left(AB^2 + AC^2 - BC^2\right).$

Exemple 20. Si $AB = 4$, $AC = 6$ et $BC = 8$, alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac12(16 + 36 - 64) = -6$. Le produit est négatif : l'angle en $A$ est obtus.

7.4 Le théorème de Pythagore

$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 = \lVert\vec{u}\rVert^2 + \lVert\vec{v}\rVert^2.$ Grâce aux mots « si et seulement si », le théorème de Pythagore et sa réciproque sont démontrés d'un seul coup.

Exemple 21 (la corde à treize nœuds). Un maçon veut tracer un angle droit sans équerre. Il prend une corde à treize nœuds régulièrement espacés, soit douze intervalles égaux, et la referme en triangle de côtés $3$, $4$ et $5$ intervalles. Au sommet entre les côtés $3$ et $4$, le produit scalaire vaut $\dfrac12(9 + 16 - 25) = 0$ : l'angle est droit.

7.5 Le parallélogramme

En ajoutant les deux premiers développements, le double produit disparait : $\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 + \lVert\vec{u} - \vec{v}\rVert^2 = 2\lVert\vec{u}\rVert^2 + 2\lVert\vec{v}\rVert^2.$ Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés.

Exemple 22. Un parallélogramme a des côtés de longueurs $3$ et $5$, et une diagonale de longueur $7$. L'autre diagonale $d$ vérifie $d^2 + 49 = 2 \times 9 + 2 \times 25 = 68$, soit $d^2 = 19$ et $d = \sqrt{19}$.