Transformation de MA · MB et cercle de diamètre [AB]

9.1 La transformation

Propriété. Soit $A$ et $B$ deux points, $I$ le milieu de $[AB]$ et $M$ un point quelconque. Alors $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}.$

Démonstration. On a $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}$. Comme $I$ est le milieu de $[AB]$, $\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}$. Donc $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}) = MI^2 - IA^2 = MI^2 - \frac{AB^2}{4}.$

9.2 Le théorème (démonstration à connaitre)

Théorème. L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.

Démonstration. D'après la transformation, $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff MI^2 = \frac{AB^2}{4} \iff MI = \frac{AB}{2},$ la dernière équivalence venant de ce que les longueurs sont positives. Les points cherchés sont donc ceux qui sont à la distance $\dfrac{AB}{2}$ de $I$ : c'est le cercle de centre $I$ et de rayon $\dfrac{AB}{2}$, c'est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$. Chaque étape étant une équivalence, tous les points du cercle conviennent, et eux seuls.

9.3 L'angle droit

Si $M$ est différent de $A$ et de $B$, le produit scalaire $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ est nul si et seulement si l'angle $\widehat{AMB}$ est droit. Donc le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ si et seulement si $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$. Cette caractérisation semble remonter à Thalès.

9.4 La fresque

Exemple 25. Une fresque de $6$ mètres est peinte sur un mur. Pour la voir sous un angle droit, il faut se placer sur le demi-cercle de diamètre $[AB]$ devant le mur, de rayon $3$ mètres. Ici, $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - 9$. Plus près du mur, $MI < 3$ : le produit est négatif et l'angle $\widehat{AMB}$ est obtus. Plus loin, $MI > 3$ : le produit est positif et l'angle est aigu.

9.5 Pour une autre valeur

Pour un réel $k$, l'égalité $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = k$ équivaut à $MI^2 = k + \dfrac{AB^2}{4}$. On obtient un cercle de centre $I$ si ce nombre est strictement positif, le point $I$ s'il est nul, et aucun point s'il est strictement négatif.

Exemple 26. Avec $AB = 6$, on a $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - 9$.

• $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 16 \iff MI^2 = 25$ : cercle de centre $I$ et de rayon $5$.
• $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -9 \iff MI^2 = 0$ : le point $I$.
• $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -12 \iff MI^2 = -3$ : aucun point.