Formule d'Al-Kashi

8.1 L'énoncé

Dans un triangle $ABC$, on note $a = BC$, $b = AC$ et $c = AB$ : chaque côté porte le nom du sommet opposé.

Théorème (formule d'Al-Kashi). $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}.$ En échangeant les lettres : $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\widehat{B}$ et $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\widehat{C}$.

8.2 La démonstration (à connaitre)

D'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$. Donc $BC^2 = \lVert\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\rVert^2 = AC^2 - 2\,\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + AB^2.$ Or $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = AC \times AB \times \cos\widehat{A}$. En remplaçant, on obtient $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$.

8.3 Un Pythagore corrigé

Le terme $-2bc\cos\widehat{A}$ est la correction apportée au théorème de Pythagore.

• Si l'angle en $A$ est droit, le cosinus est nul : $a^2 = b^2 + c^2$.
• S'il est obtus, le cosinus est négatif : $a^2 > b^2 + c^2$.
• S'il est aigu, le cosinus est positif : $a^2 < b^2 + c^2$.

Comme $bc \neq 0$, on a $a^2 = b^2 + c^2$ si et seulement si $\cos\widehat{A} = 0$, c'est-à-dire si et seulement si l'angle en $A$ est droit. On retrouve le théorème de Pythagore et sa réciproque.

8.4 Calculer une longueur

Exemple 23 (régate). Sur un parcours de régate, la bouée $A$ est à $800$ mètres de la bouée $C$ et à $500$ mètres de la bouée $B$, et l'angle en $A$ mesure $60^\circ$. En hectomètres, $b = 8$ et $c = 5$ : $a^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \times 8 \times 5 \times \cos 60^\circ = 89 - 40 = 49.$ Donc $a = 7$ : les bouées $B$ et $C$ sont à $700$ mètres l'une de l'autre.

8.5 Calculer un angle

On isole le cosinus : $\cos\widehat{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}.$

Exemple 24 (une ferme de toit). Une ferme de toit a deux versants de $3$ mètres et de $5$ mètres, pour une largeur de $7$ mètres. Avec $a = 7$, $b = 3$ et $c = 5$ : $\cos\widehat{A} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \times 3 \times 5} = \frac{-15}{30} = -\frac12.$ L'angle au faitage mesure $120^\circ$, soit $\dfrac{2\pi}{3}$ radians.

8.6 Aigu ou obtus ?

Sans calculer l'angle, $\cos\widehat{A}$ a le signe de $b^2 + c^2 - a^2$. Le plus grand angle est en face du plus grand côté : on prend ce côté pour $a$.