Linéarité de l'espérance

5.1 Transformer une variable

Si $X$ est une variable aléatoire et si $a$ et $b$ sont deux réels, $aX + b$ est la variable qui associe à chaque issue $\omega$ le nombre $a\,X(\omega) + b$.

Exemple 26. Le stand double tous les lots, puis ajoute $1$ euro à chaque joueur : le joueur reçoit $S = 2X + 1$. Les valeurs de $S$ sont $1$, $11$ et $21$, avec les mêmes probabilités. Donc $E(S) = 0{,}6 \times 1 + 0{,}2 \times 11 + 0{,}2 \times 21 = 0{,}6 + 2{,}2 + 4{,}2 = 7$. Or $2 \times 3 + 1 = 7$ : on pouvait s'en passer.

5.2 La propriété

Propriété (linéarité de l'espérance). Pour tous réels $a$ et $b$ : $E(aX + b) = a\,E(X) + b.$

Démonstration. Si $X$ prend les valeurs $x_1$, …, $x_n$ avec les probabilités $p_1$, …, $p_n$, alors $aX + b$ prend les valeurs $ax_i + b$ avec les mêmes probabilités. Donc $E(aX + b) = p_1(ax_1 + b) + \cdots + p_n(ax_n + b) = a(p_1 x_1 + \cdots + p_n x_n) + b(p_1 + \cdots + p_n).$ La première parenthèse vaut $E(X)$, et la seconde vaut $1$. Donc $E(aX + b) = a\,E(X) + b$.

5.3 Calculer sans refaire la loi

Exemple 27. Le gain net $G = X - 4$ a pour espérance $E(G) = E(X) - 4 = 3 - 4 = -1$ : le joueur perd en moyenne $1$ euro par partie.

Exemple 28 (un marchand de glaces). Un marchand vend chaque jour un nombre $N$ de cornets, avec $E(N) = 40$. Un cornet rapporte $3$ euros et il paie $50$ euros de frais par jour. Sa recette nette est $R = 3N - 50$, donc $E(R) = 3 \times 40 - 50 = 70$ euros, sans connaître la loi de $N$.

5.4 Ce que la linéarité ne dit pas

Attention. La propriété ne vaut que pour $aX + b$. En général, $E(X^2)$ n'est pas égale à $E(X)^2$. Pour le jeu des enveloppes, $X^2$ prend les valeurs $0$, $25$ et $100$, donc $E(X^2) = 0{,}2 \times 25 + 0{,}2 \times 100 = 25$, alors que $E(X)^2 = 3^2 = 9$.

5.5 Somme de deux variables

Propriété (admise). Pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur un même univers : $E(X + Y) = E(X) + E(Y).$

Aucune hypothèse d'indépendance n'est demandée. Cette propriété sera étudiée en Terminale ; ici, on la voit sur un exemple.

Exemple 29 (les trajets de Nora). Nora, apprentie, va au travail en scooter. On choisit au hasard l'un des cinq jours de sa semaine. On note $X$ la durée de l'aller et $Y$ celle du retour, en minutes.

Jour	lundi	mardi	mercredi	jeudi	vendredi
$X$	$20$	$25$	$20$	$30$	$25$
$Y$	$30$	$25$	$20$	$35$	$40$
$X + Y$	$50$	$50$	$40$	$65$	$65$

Les deux variables sont définies sur le même univers : les cinq jours. On a $E(X) = \dfrac{120}{5} = 24$ et $E(Y) = \dfrac{150}{5} = 30$. La variable $X + Y$ vaut $40$ avec la probabilité $0{,}2$, $50$ avec la probabilité $0{,}4$ et $65$ avec la probabilité $0{,}4$. Donc $E(X + Y) = 8 + 20 + 26 = 54$, et on a bien $24 + 30 = 54$.