Formule de König-Huygens

6.1 La variable X²

Comme $aX + b$, le carré $X^2$ est une variable aléatoire : à chaque issue, il associe le carré de $X$. Si $X$ prend les valeurs $x_i$ avec les probabilités $p_i$, alors $E(X^2) = p_1 x_1^2 + p_2 x_2^2 + \cdots + p_n x_n^2.$

L'écriture $E(X)^2$ désigne le carré de l'espérance : $E(X)^2 = \big(E(X)\big)^2$. Ce n'est pas la même chose.

6.2 La formule

Propriété (formule de König-Huygens). $V(X) = E(X^2) - E(X)^2.$

Justification. On note $\mu = E(X)$. Avec l'identité remarquable du chapitre 1, $(x_i - \mu)^2 = x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2$. On multiplie chaque ligne par $p_i$ et on additionne : $V(X) = (p_1 x_1^2 + \cdots + p_n x_n^2) - 2\mu(p_1 x_1 + \cdots + p_n x_n) + \mu^2(p_1 + \cdots + p_n).$ Les trois parenthèses valent $E(X^2)$, $\mu$ et $1$. Donc $V(X) = E(X^2) - 2\mu^2 + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2$.

6.3 Une méthode en trois lignes

Calcule $E(X)$, puis $E(X^2)$, puis fais la différence. Il n'y a plus de carrés d'écarts à calculer, ce qui est bien plus sûr sans calculatrice.

Exemple 30. Pour le jeu des enveloppes, $E(X) = 3$ et $E(X^2) = 25$, donc $V(X) = 25 - 9 = 16$. C'est le résultat de la leçon 4, en une ligne.

Exemple 31. Pour l'archère, $E(X) = 1{,}6$ et $E(X^2) = 0{,}04 \times 0 + 0{,}32 \times 1 + 0{,}64 \times 4 = 2{,}88$. Donc $V(X) = 2{,}88 - 1{,}6^2 = 2{,}88 - 2{,}56 = 0{,}32$.

Exemple 32 (un dé équilibré). On lance un dé équilibré à six faces. Alors $E(X) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \dfrac72$ et $E(X^2) = \dfrac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \dfrac{91}{6}$. Donc $V(X) = \dfrac{91}{6} - \dfrac{49}{4} = \dfrac{182}{12} - \dfrac{147}{12} = \dfrac{35}{12}$.

6.4 Une conséquence

Comme $V(X) \geq 0$, on a toujours $E(X^2) \geq E(X)^2$. On retrouve l'exemple de la leçon 5 : $25 \geq 9$.

6.5 Lien avec le second degré

Exemple 33. Une variable $Z$ vaut $1$ avec la probabilité $p$, et $0$ sinon. Elle compte le succès d'une épreuve de Bernoulli. Alors $E(Z) = p$ et $E(Z^2) = p$, car $0^2 = 0$ et $1^2 = 1$. Donc $V(Z) = p - p^2 = p(1 - p)$.

C'est une fonction polynôme du second degré en $p$, de racines $0$ et $1$. Sa forme canonique est $-\left(p - \dfrac12\right)^2 + \dfrac14$ : la variance est maximale pour $p = \dfrac12$, et elle vaut alors $\dfrac14$. La dispersion est la plus grande quand le succès et l'échec sont également probables, et elle est nulle quand le résultat est certain.