Dérivation et convexité

Leçon 1 : Rappels sur la dérivation

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1.1 Nombre dérivé et tangente

Soit $f$ une fonction définie sur $I$ et $a$ un réel de $I$. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ ($h \neq 0$) est $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ : c'est la pente de la sécante qui passe par les points d'abscisses $a$ et $a + h$. Si ce taux a une limite finie quand $h$ tend vers $0$, $f$ est dérivable en $a$, et cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$.

Tangente. La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est la droite qui passe par $A\big(a\,;f(a)\big)$ et qui a pour coefficient directeur $f'(a)$. Son équation est $y = f(a) + f'(a)(x - a).$

1.2 Dérivées des fonctions de référence

La formule $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ reste vraie pour tout entier $n$ négatif, pour $x \neq 0$ : par exemple $(x^{-2})' = -2x^{-3}$. La fonction racine carrée est définie en $0$ mais n'y est pas dérivable.

1.3 Règles de calcul

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $I$, et $k$ un réel.

Avec une fonction affine. Si $g$ est dérivable, la fonction $x \mapsto g(ax + b)$ a pour dérivée $x \mapsto a\,g'(ax + b)$. Par exemple, $\left(\mathrm{e}^{kx}\right)' = k\,\mathrm{e}^{kx}$ et $\left((3x - 2)^5\right)' = 3 \times 5\,(3x-2)^4 = 15\,(3x-2)^4$.

1.4 Signe de la dérivée et variations

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ (propriété de Première) :

• si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est croissante sur $I$ ;
• si $f'(x) \leq 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$ ;
• si $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $a$ : un maximum si $f'$ passe du signe $+$ au signe $-$, un minimum dans l'autre cas. Dans tous les cas, en un extremum local $a$ qui n'est pas une borne de $I$, $f'(a) = 0$ : la tangente y est horizontale.

1.5 Deux exemples

Exemple 1. Soit $f(x) = (3x - 1)\,\mathrm{e}^{2x}$ sur $\mathbb{R}$.

Dérivée. On pose $u(x) = 3x - 1$ et $v(x) = \mathrm{e}^{2x}$ : $u'(x) = 3$ et $v'(x) = 2\,\mathrm{e}^{2x}$. Par la règle du produit, $f'(x) = 3\,\mathrm{e}^{2x} + (3x - 1) \times 2\,\mathrm{e}^{2x} = (3 + 6x - 2)\,\mathrm{e}^{2x} = (6x + 1)\,\mathrm{e}^{2x}.$

Variations. Comme $\mathrm{e}^{2x} > 0$, $f'(x)$ a le signe de $6x + 1$ : négatif si $x < -\frac16$, positif si $x > -\frac16$.

$x$	$-\infty$		$-\frac16$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f$		décroissante	$-\frac32\,\mathrm{e}^{-1/3}$	croissante

$f$ admet un minimum en $-\frac16$ : $f\!\left(-\frac16\right) = \left(-\frac12 - 1\right)\mathrm{e}^{-1/3} = -\frac32\,\mathrm{e}^{-1/3} \approx -1{,}075$.

Tangente en $0$. $f(0) = -1$ et $f'(0) = 1$, donc la tangente a pour équation $y = -1 + 1 \times (x - 0)$, soit $y = x - 1$.

Exemple 2. Soit $g(x) = \dfrac{x - 1}{x + 2}$ sur $]-2\,;+\infty[$. Par la règle du quotient, avec $u(x) = x - 1$ et $v(x) = x + 2$ : $g'(x) = \frac{1 \times (x + 2) - (x - 1) \times 1}{(x + 2)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2} > 0.$ La fonction $g$ est strictement croissante sur $]-2\,;+\infty[$.

1.6 Un peu d'histoire

Le programme le rappelle : le calcul différentiel s'est développé au XVIIe siècle, en même temps que la physique mathématique. Fermat, Huygens, Pascal et Barrow étudient le problème des tangentes, et reconnaissent qu'il est l'inverse du problème des aires. Les travaux de Newton et de Leibniz révèlent ensuite deux visions et deux pratiques différentes de ce calcul. Il faudra attendre la notion de limite pour lui donner des fondements solides.

Leçon 2 : Composée de deux fonctions

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2.1 Définition

Pour calculer $\sqrt{x^2 + 1}$, on fait deux étapes : on calcule d'abord $x^2 + 1$, puis on prend la racine carrée du résultat. On enchaîne deux fonctions.

Définition. Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $v$ une fonction définie sur un intervalle $J$, telles que $u(x)$ appartienne à $J$ pour tout $x$ de $I$. La composée de $u$ suivie de $v$ est la fonction notée $v \circ u$ (on lit « $v$ rond $u$ »), définie sur $I$ par $(v \circ u)(x) = v\big(u(x)\big).$

On l'écrit aussi sous forme d'une chaîne : $x \;\xrightarrow{\;u\;}\; u(x) \;\xrightarrow{\;v\;}\; v\big(u(x)\big)$. On applique d'abord $u$, puis $v$ : dans l'écriture $v \circ u$, la première fonction appliquée est celle de droite.

Exemple 3. Soit $u(x) = x^2 + 1$ sur $\mathbb{R}$ et $v(X) = \sqrt{X}$ sur $[0\,;+\infty[$. Pour tout réel $x$, $u(x) = x^2 + 1 \geq 1 \geq 0$ : la composée $v \circ u$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $(v \circ u)(x) = \sqrt{x^2 + 1}.$ Par exemple, $(v \circ u)(2) = v(5) = \sqrt5$.

2.2 L'ordre compte

Avec les mêmes fonctions, on peut aussi appliquer $v$ d'abord, puis $u$. Pour $x \geq 0$ : $(u \circ v)(x) = u\big(\sqrt{x}\big) = \left(\sqrt{x}\right)^2 + 1 = x + 1.$ Ainsi $(u \circ v)(2) = 3$, alors que $(v \circ u)(2) = \sqrt5 \approx 2{,}236$. En général, $v \circ u$ et $u \circ v$ sont deux fonctions différentes.

2.3 Reconnaître une composée

Pour dériver ou pour chercher une limite, on doit savoir écrire une fonction comme une composée.

Méthode. On se demande quelle est la dernière opération effectuée quand on calcule $f(x)$ à partir de $x$ : c'est la fonction extérieure $v$. Ce qui est « à l'intérieur » est $u(x)$.

2.4 Ensemble de définition

Pour que $v\big(u(x)\big)$ existe, il faut que $u(x)$ existe et que $u(x)$ appartienne à l'ensemble de définition de $v$.

Exemple 4. $f(x) = \sqrt{6 - 2x}$. La racine carrée n'est définie que pour un nombre positif ou nul : il faut $6 - 2x \geq 0$, c'est-à-dire $x \leq 3$. Donc $f$ est définie sur $]-\infty\,;3]$.

Exemple 5. $g(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4}$. Il faut $x^2 - 4 \neq 0$, c'est-à-dire $x \neq 2$ et $x \neq -2$. Donc $g$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-2\,;2\}$.

Exemple 6. $h(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 5}$. Sous forme canonique, $x^2 - 2x + 5 = (x - 1)^2 + 4 \geq 4 > 0$ pour tout réel $x$. Donc $h$ est définie sur $\mathbb{R}$.

2.5 Lien avec les limites

Au chapitre 4, tu as calculé des limites de fonctions composées en posant $X = u(x)$ : on cherche la limite de $X$, puis celle de $v(X)$. C'est exactement la décomposition $v \circ u$. Par exemple, pour $\mathrm{e}^{-x^2}$ en $+\infty$ : $X = -x^2 \to -\infty$, et $\mathrm{e}^X \to 0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} = 0$.

Leçon 3 : Dérivée d'une fonction composée

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3.1 Le théorème

Théorème (admis). Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et $v$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$, telles que $u(x)$ appartienne à $J$ pour tout $x$ de $I$. Alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u', \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad (v \circ u)'(x) = v'\big(u(x)\big) \times u'(x).$

Bien lire la formule. On dérive la fonction extérieure $v$ en gardant l'intérieur $u(x)$, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur, $u'(x)$.

On retrouve la règle de Première. Si $u(x) = ax + b$, alors $u'(x) = a$ et la formule donne $\big(v(ax + b)\big)' = a\,v'(ax + b)$.

3.2 Trois formules à connaître

Soit $u$ une fonction dérivable sur $I$.

Elles viennent toutes du théorème. Par exemple, pour $\sqrt{u}$ : la fonction extérieure est $v(X) = \sqrt{X}$, de dérivée $v'(X) = \dfrac{1}{2\sqrt X}$, donc $\left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \times u'$. Le cas $n = -1$ redonne la règle de Première $\left(\dfrac1u\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$.

3.3 Exemples

Exemple 7. $f(x) = \mathrm{e}^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$. On pose $u(x) = -x^2$, donc $u'(x) = -2x$ : $f'(x) = -2x\,\mathrm{e}^{-x^2}.$

Exemple 8. $g(x) = \left(x^2 - 3x\right)^4$ sur $\mathbb{R}$. On pose $u(x) = x^2 - 3x$, donc $u'(x) = 2x - 3$ : $g'(x) = 4\,(2x - 3)\left(x^2 - 3x\right)^3.$

Exemple 9. $h(x) = \sqrt{x^2 + 9}$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, $x^2 + 9 > 0$. On pose $u(x) = x^2 + 9$, donc $u'(x) = 2x$ : $h'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 9}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}.$ Tangente au point d'abscisse $4$. $h(4) = \sqrt{25} = 5$ et $h'(4) = \dfrac45$. La tangente a pour équation $y = 5 + \dfrac45(x - 4)$, soit $y = 0{,}8\,x + 1{,}8$.

Exemple 10. $k(x) = \dfrac{1}{\left(x^2 + 1\right)^2} = \left(x^2 + 1\right)^{-2}$ sur $\mathbb{R}$. On pose $u(x) = x^2 + 1$, qui ne s'annule pas, et on applique la formule avec $n = -2$ : $k'(x) = -2 \times 2x \times \left(x^2 + 1\right)^{-3} = -\frac{4x}{\left(x^2 + 1\right)^3}.$

3.4 Deux pièges

• Oublier de multiplier par $u'$. La dérivée de $\mathrm{e}^{x^2}$ n'est pas $\mathrm{e}^{x^2}$, mais $2x\,\mathrm{e}^{x^2}$. La dérivée de $\sqrt{x^2 + 9}$ n'est pas $\dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}}$.
• Se tromper d'extérieur. $\left(\mathrm{e}^x\right)^2$ et $\mathrm{e}^{x^2}$ sont deux fonctions différentes. Pour la première, l'extérieur est $X^2$ : sa dérivée est $2\,\mathrm{e}^x \times \mathrm{e}^x = 2\,\mathrm{e}^{2x}$.

3.5 Pour comprendre la formule (hors attendus du programme)

Le programme ne demande pas de démontrer cette formule. Voici l'idée. Pour $x$ proche de $a$, avec $u(x) \neq u(a)$, on écrit le taux de variation de $v \circ u$ en deux morceaux : $\frac{v\big(u(x)\big) - v\big(u(a)\big)}{x - a} = \frac{v\big(u(x)\big) - v\big(u(a)\big)}{u(x) - u(a)} \times \frac{u(x) - u(a)}{x - a}.$ Quand $x$ tend vers $a$, $u(x)$ tend vers $u(a)$ (on l'admet ici, le chapitre 7 y reviendra). Le premier facteur tend alors vers $v'\big(u(a)\big)$ et le second vers $u'(a)$.

Leçon 4 : Étude complète d'une fonction

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4.1 La méthode

Le programme demande de savoir « calculer la fonction dérivée, déterminer les limites et étudier les variations d'une fonction construite simplement à partir des fonctions de référence ». On procède en six étapes.

1. Ensemble de définition (avec la leçon 2 pour une composée).
2. Limites aux bornes de l'ensemble de définition (chapitre 4), et asymptotes éventuelles.
3. Dérivée, mise si possible sous forme factorisée.
4. Signe de la dérivée, avec un tableau de signes si nécessaire.
5. Tableau de variations complet : signe de $f'$, flèches, limites et valeurs des extremums.
6. Allure de la courbe, à partir du tableau.

4.2 Un exemple avec une racine carrée

Exemple 11. Soit $f(x) = x\sqrt{3 - x}$.

1. Ensemble de définition. Il faut $3 - x \geq 0$, soit $x \leq 3$ : $f$ est définie sur $]-\infty\,;3]$. Elle est dérivable sur $]-\infty\,;3[$, où $3 - x > 0$.

2. Limite en $-\infty$. Quand $x \to -\infty$, $3 - x \to +\infty$, donc $\sqrt{3 - x} \to +\infty$ (composition). Par produit, $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$. En l'autre borne, $f(3) = 3 \times 0 = 0$.

3. Dérivée. On dérive le produit, avec $\left(\sqrt{3 - x}\right)' = \dfrac{-1}{2\sqrt{3 - x}}$ : pour $x < 3$, $f'(x) = \sqrt{3 - x} + x \times \frac{-1}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{2(3 - x) - x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{3(2 - x)}{2\sqrt{3 - x}}.$

4. Signe. Le dénominateur est strictement positif : $f'(x)$ a le signe de $2 - x$, positif sur $]-\infty\,;2[$, négatif sur $]2\,;3[$.

5. Tableau de variations. $f(2) = 2\sqrt{1} = 2$.

$x$	$-\infty$		$2$		$3$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f$	$-\infty$	croissante	$2$	décroissante	$0$

6. Courbe. Elle vient de $-\infty$, passe par l'origine ($f(0) = 0$), monte jusqu'au point $(2\,;2)$, où la tangente est horizontale, puis redescend jusqu'au point $(3\,;0)$. Quelques valeurs : $f(-2) = -2\sqrt5 \approx -4{,}47$, $f(-1) = -2$, $f(1) = \sqrt2 \approx 1{,}41$.

4.3 Un exemple avec l'exponentielle

Exemple 12. Soit $f(x) = \mathrm{e}^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$.

• Limites. Quand $x \to +\infty$ ou $x \to -\infty$, $-x^2 \to -\infty$, et $\mathrm{e}^X \to 0$ quand $X \to -\infty$. Donc $f$ tend vers $0$ en $+\infty$ et en $-\infty$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale des deux côtés.
• Dérivée (exemple 7) : $f'(x) = -2x\,\mathrm{e}^{-x^2}$, du signe de $-2x$.
• Variations. $f$ est croissante sur $]-\infty\,;0]$, décroissante sur $[0\,;+\infty[$, et son maximum est $f(0) = 1$.

La courbe a la forme d'une cloche, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, car $f(-x) = f(x)$. On la retrouvera à la leçon 7.

Leçon 5 : Dérivée seconde et convexité

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5.1 Dérivée seconde

Définition. Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$. Si sa dérivée $f'$ est elle-même dérivable sur $I$, la dérivée de $f'$ s'appelle la dérivée seconde de $f$. On la note $f''$ (on lit « $f$ seconde ») : $f'' = (f')'$. On dit alors que $f$ est deux fois dérivable sur $I$.

Exemple 13. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ : $f'(x) = 3x^2 - 6x$ et $f''(x) = 6x - 6$.

Exemple 14. $g(x) = x\,\mathrm{e}^x$ : $g'(x) = \mathrm{e}^x + x\,\mathrm{e}^x = (x + 1)\,\mathrm{e}^x$, puis $g''(x) = \mathrm{e}^x + (x + 1)\,\mathrm{e}^x = (x + 2)\,\mathrm{e}^x$.

Interprétation. $f'(x)$ est la pente de la tangente ; $f''(x)$ indique comment cette pente varie. En physique, si $d(t)$ est la distance parcourue au temps $t$, $d'(t)$ est la vitesse et $d''(t)$ l'accélération.

5.2 Fonction convexe, fonction concave

Une sécante à la courbe $\mathcal{C}_f$ est une droite qui passe par deux points $A$ et $B$ de la courbe.

Définition (programme). Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

• $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous points $A$ et $B$ de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses dans $I$, la portion de courbe comprise entre $A$ et $B$ est située en dessous du segment $[AB]$.
• $f$ est concave sur $I$ si cette portion de courbe est toujours située au-dessus du segment $[AB]$.

Avec des calculs : si $a < b$ sont deux réels de $I$, la sécante passant par $A\big(a\,;f(a)\big)$ et $B\big(b\,;f(b)\big)$ a pour équation $y = f(a) + \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$. Dire que $f$ est convexe, c'est dire que, pour tous $a < b$ de $I$ et tout $x$ de $[a\,;b]$, $f(x) \leq f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a).$

Image mentale. Une courbe convexe est « tournée vers le haut », comme un bol ; une courbe concave est « tournée vers le bas », comme un dôme. Une fonction $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $-f$ est convexe sur $I$.

5.3 La fonction carré est convexe

Exemple 15. Soient $a < b$ deux réels, $A(a\,;a^2)$ et $B(b\,;b^2)$. La pente de la sécante $(AB)$ vaut $\dfrac{b^2 - a^2}{b - a} = a + b$, et son équation est $y = a^2 + (a + b)(x - a)$, soit $y = (a + b)x - ab$. Alors, pour tout réel $x$ : $x^2 - \big((a + b)x - ab\big) = x^2 - (a+b)x + ab = (x - a)(x - b).$ Si $a \leq x \leq b$, on a $x - a \geq 0$ et $x - b \leq 0$, donc $(x - a)(x - b) \leq 0$ : la courbe est sous la sécante entre $A$ et $B$. La fonction carré est convexe sur $\mathbb{R}$.

Par exemple, pour $a = -1$ et $b = 2$, la sécante a pour équation $y = x + 2$, et $x^2 \leq x + 2$ pour tout $x$ de $[-1\,;2]$.

Exemple 16 (la racine carrée). Entre $O(0\,;0)$ et $B(4\,;2)$, la sécante a pour équation $y = \dfrac{x}{2}$. Pour $0 \leq x \leq 4$ : $\sqrt{x} \geq \dfrac{x}{2} \iff x \geq \dfrac{x^2}{4}$ (les deux membres sont positifs) $\iff x(4 - x) \geq 0$, ce qui est vrai. La courbe est au-dessus de cette sécante : c'est ce qu'on attend d'une fonction concave. On le démontrera pour toutes les sécantes à la leçon 6.

5.4 Les fonctions de référence

On lit sur leurs courbes, et on justifiera à la leçon 6 :

Une fonction affine est à la fois convexe et concave : sa courbe est confondue avec ses sécantes.

Leçon 6 : Convexité et dérivées

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6.1 Les caractérisations (admises)

Théorème (équivalence admise par le programme). Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :

1. $f$ est convexe sur $I$ ;
2. la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$ ;
3. la dérivée $f'$ est croissante sur $I$ ;
4. la dérivée seconde $f''$ est positive sur $I$ : $f''(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$.

De même, $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $\mathcal{C}_f$ est en dessous de ses tangentes, si et seulement si $f'$ est décroissante sur $I$, si et seulement si $f'' \leq 0$ sur $I$.

Pourquoi c'est naturel. Sur une courbe convexe, quand on avance de gauche à droite, la pente des tangentes augmente : $f'$ croît. Et $f'$ croissante, c'est $f'' \geq 0$ (signe de la dérivée et variations, appliqué à $f'$).

En pratique, on étudie la convexité avec le signe de $f''$.

6.2 Démonstration du programme

Propriété. Si $f''$ est positive sur $I$, alors la courbe représentative de $f$ est au-dessus de ses tangentes.

Démonstration. Soit $a$ un réel de $I$. La tangente $T_a$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f(a) + f'(a)(x - a)$. On étudie l'écart entre la courbe et la tangente : $g(x) = f(x) - \big(f(a) + f'(a)(x - a)\big), \qquad x \in I.$

1. La fonction $g$ est dérivable sur $I$ et $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ (car $f(a)$ et $f'(a)$ sont des constantes).
2. Comme $f'' \geq 0$ sur $I$, la fonction $f'$ est croissante sur $I$. Donc :
   • si $x \leq a$, alors $f'(x) \leq f'(a)$, donc $g'(x) \leq 0$ ;
   • si $x \geq a$, alors $f'(x) \geq f'(a)$, donc $g'(x) \geq 0$.
3. La fonction $g$ est donc décroissante sur $I \cap\, ]-\infty\,;a]$ et croissante sur $I \cap [a\,;+\infty[$. Elle atteint son minimum en $a$, et ce minimum vaut $g(a) = f(a) - f(a) - 0 = 0$.

4. Donc $g(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$, c'est-à-dire $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$ : la courbe est au-dessus de sa tangente $T_a$. Comme $a$ est quelconque, elle est au-dessus de toutes ses tangentes.

De même, si $f'' \leq 0$ sur $I$, la courbe est en dessous de ses tangentes (on applique le résultat à $-f$).

6.3 Étudier la convexité d'une fonction

Exemple 17 (l'exponentielle). $(\mathrm{e}^x)'' = \mathrm{e}^x > 0$ pour tout réel $x$ : la fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$. Sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.

Exemple 18 (la racine carrée). Sur $]0\,;+\infty[$, la dérivée $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt x}$ est décroissante : quand $x$ augmente, $\sqrt x$ augmente, donc $\dfrac{1}{2\sqrt x}$ diminue. La fonction racine carrée est donc concave sur $]0\,;+\infty[$. Par le calcul, avec $f'(x) = \dfrac12 \times \dfrac{1}{\sqrt x}$ et la règle $\left(\dfrac1u\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$ : $f''(x) = \frac12 \times \left(-\frac{\frac{1}{2\sqrt x}}{x}\right) = -\frac{1}{4x\sqrt{x}} < 0.$

Exemple 19. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ (exemple 13) : $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$.

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$f''(x)$		$-$	$0$	$+$
convexité de $f$		concave		convexe

$f$ est concave sur $]-\infty\,;1]$ et convexe sur $[1\,;+\infty[$.

Exemple 20. $g(x) = x\,\mathrm{e}^x$ (exemple 14) : $g''(x) = (x + 2)\,\mathrm{e}^x$, du signe de $x + 2$. La fonction $g$ est concave sur $]-\infty\,;-2]$ et convexe sur $[-2\,;+\infty[$.

Méthode. Pour étudier la convexité de $f$ sur $I$ : on calcule $f''(x)$, on étudie son signe, et on conclut : convexe là où $f'' \geq 0$, concave là où $f'' \leq 0$.

Leçon 7 : Point d'inflexion

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7.1 Définition

Définition. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et $A$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$, où $a$ est un réel de $I$ qui n'est pas une borne de $I$. On dit que $A$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ si la courbe traverse sa tangente en $A$.

En un point d'inflexion, la fonction change de convexité : elle passe de concave à convexe, ou de convexe à concave.

7.2 Avec la dérivée seconde

Propriété. Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$. Si $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ est un point d'inflexion.

Exemple 21. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. D'après l'exemple 19, $f''$ s'annule en $1$ en changeant de signe : le point $A(1\,;0)$ est un point d'inflexion ($f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$).

Vérifions que la courbe traverse sa tangente. $f'(1) = 3 - 6 = -3$, donc la tangente en $A$ a pour équation $y = -3(x - 1)$, soit $y = -3x + 3$. L'écart vaut $f(x) - (-3x + 3) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3,$ négatif si $x < 1$ (courbe sous la tangente) et positif si $x > 1$ (courbe au-dessus) : la courbe traverse bien sa tangente en $A$.