Dérivée seconde et convexité

5.1 Dérivée seconde

Définition. Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$. Si sa dérivée $f'$ est elle-même dérivable sur $I$, la dérivée de $f'$ s'appelle la dérivée seconde de $f$. On la note $f''$ (on lit « $f$ seconde ») : $f'' = (f')'$. On dit alors que $f$ est deux fois dérivable sur $I$.

Exemple 13. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ : $f'(x) = 3x^2 - 6x$ et $f''(x) = 6x - 6$.

Exemple 14. $g(x) = x\,\mathrm{e}^x$ : $g'(x) = \mathrm{e}^x + x\,\mathrm{e}^x = (x + 1)\,\mathrm{e}^x$, puis $g''(x) = \mathrm{e}^x + (x + 1)\,\mathrm{e}^x = (x + 2)\,\mathrm{e}^x$.

Interprétation. $f'(x)$ est la pente de la tangente ; $f''(x)$ indique comment cette pente varie. En physique, si $d(t)$ est la distance parcourue au temps $t$, $d'(t)$ est la vitesse et $d''(t)$ l'accélération.

5.2 Fonction convexe, fonction concave

Une sécante à la courbe $\mathcal{C}_f$ est une droite qui passe par deux points $A$ et $B$ de la courbe.

Définition (programme). Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

• $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous points $A$ et $B$ de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses dans $I$, la portion de courbe comprise entre $A$ et $B$ est située en dessous du segment $[AB]$.
• $f$ est concave sur $I$ si cette portion de courbe est toujours située au-dessus du segment $[AB]$.

Avec des calculs : si $a < b$ sont deux réels de $I$, la sécante passant par $A\big(a\,;f(a)\big)$ et $B\big(b\,;f(b)\big)$ a pour équation $y = f(a) + \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$. Dire que $f$ est convexe, c'est dire que, pour tous $a < b$ de $I$ et tout $x$ de $[a\,;b]$, $f(x) \leq f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a).$

Image mentale. Une courbe convexe est « tournée vers le haut », comme un bol ; une courbe concave est « tournée vers le bas », comme un dôme. Une fonction $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $-f$ est convexe sur $I$.

5.3 La fonction carré est convexe

Exemple 15. Soient $a < b$ deux réels, $A(a\,;a^2)$ et $B(b\,;b^2)$. La pente de la sécante $(AB)$ vaut $\dfrac{b^2 - a^2}{b - a} = a + b$, et son équation est $y = a^2 + (a + b)(x - a)$, soit $y = (a + b)x - ab$. Alors, pour tout réel $x$ : $x^2 - \big((a + b)x - ab\big) = x^2 - (a+b)x + ab = (x - a)(x - b).$ Si $a \leq x \leq b$, on a $x - a \geq 0$ et $x - b \leq 0$, donc $(x - a)(x - b) \leq 0$ : la courbe est sous la sécante entre $A$ et $B$. La fonction carré est convexe sur $\mathbb{R}$.

Par exemple, pour $a = -1$ et $b = 2$, la sécante a pour équation $y = x + 2$, et $x^2 \leq x + 2$ pour tout $x$ de $[-1\,;2]$.

Exemple 16 (la racine carrée). Entre $O(0\,;0)$ et $B(4\,;2)$, la sécante a pour équation $y = \dfrac{x}{2}$. Pour $0 \leq x \leq 4$ : $\sqrt{x} \geq \dfrac{x}{2} \iff x \geq \dfrac{x^2}{4}$ (les deux membres sont positifs) $\iff x(4 - x) \geq 0$, ce qui est vrai. La courbe est au-dessus de cette sécante : c'est ce qu'on attend d'une fonction concave. On le démontrera pour toutes les sécantes à la leçon 6.

5.4 Les fonctions de référence

On lit sur leurs courbes, et on justifiera à la leçon 6 :

Une fonction affine est à la fois convexe et concave : sa courbe est confondue avec ses sécantes.