Rappels sur la dérivation

1.1 Nombre dérivé et tangente

Soit $f$ une fonction définie sur $I$ et $a$ un réel de $I$. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ ($h \neq 0$) est $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ : c'est la pente de la sécante qui passe par les points d'abscisses $a$ et $a + h$. Si ce taux a une limite finie quand $h$ tend vers $0$, $f$ est dérivable en $a$, et cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$.

Tangente. La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est la droite qui passe par $A\big(a\,;f(a)\big)$ et qui a pour coefficient directeur $f'(a)$. Son équation est $y = f(a) + f'(a)(x - a).$

1.2 Dérivées des fonctions de référence

La formule $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ reste vraie pour tout entier $n$ négatif, pour $x \neq 0$ : par exemple $(x^{-2})' = -2x^{-3}$. La fonction racine carrée est définie en $0$ mais n'y est pas dérivable.

1.3 Règles de calcul

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $I$, et $k$ un réel.

Avec une fonction affine. Si $g$ est dérivable, la fonction $x \mapsto g(ax + b)$ a pour dérivée $x \mapsto a\,g'(ax + b)$. Par exemple, $\left(\mathrm{e}^{kx}\right)' = k\,\mathrm{e}^{kx}$ et $\left((3x - 2)^5\right)' = 3 \times 5\,(3x-2)^4 = 15\,(3x-2)^4$.

1.4 Signe de la dérivée et variations

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ (propriété de Première) :

• si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est croissante sur $I$ ;
• si $f'(x) \leq 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$ ;
• si $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $a$ : un maximum si $f'$ passe du signe $+$ au signe $-$, un minimum dans l'autre cas. Dans tous les cas, en un extremum local $a$ qui n'est pas une borne de $I$, $f'(a) = 0$ : la tangente y est horizontale.

1.5 Deux exemples

Exemple 1. Soit $f(x) = (3x - 1)\,\mathrm{e}^{2x}$ sur $\mathbb{R}$.

Dérivée. On pose $u(x) = 3x - 1$ et $v(x) = \mathrm{e}^{2x}$ : $u'(x) = 3$ et $v'(x) = 2\,\mathrm{e}^{2x}$. Par la règle du produit, $f'(x) = 3\,\mathrm{e}^{2x} + (3x - 1) \times 2\,\mathrm{e}^{2x} = (3 + 6x - 2)\,\mathrm{e}^{2x} = (6x + 1)\,\mathrm{e}^{2x}.$

Variations. Comme $\mathrm{e}^{2x} > 0$, $f'(x)$ a le signe de $6x + 1$ : négatif si $x < -\frac16$, positif si $x > -\frac16$.

$x$	$-\infty$		$-\frac16$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f$		décroissante	$-\frac32\,\mathrm{e}^{-1/3}$	croissante

$f$ admet un minimum en $-\frac16$ : $f\!\left(-\frac16\right) = \left(-\frac12 - 1\right)\mathrm{e}^{-1/3} = -\frac32\,\mathrm{e}^{-1/3} \approx -1{,}075$.

Tangente en $0$. $f(0) = -1$ et $f'(0) = 1$, donc la tangente a pour équation $y = -1 + 1 \times (x - 0)$, soit $y = x - 1$.

Exemple 2. Soit $g(x) = \dfrac{x - 1}{x + 2}$ sur $]-2\,;+\infty[$. Par la règle du quotient, avec $u(x) = x - 1$ et $v(x) = x + 2$ : $g'(x) = \frac{1 \times (x + 2) - (x - 1) \times 1}{(x + 2)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2} > 0.$ La fonction $g$ est strictement croissante sur $]-2\,;+\infty[$.

1.6 Un peu d'histoire

Le programme le rappelle : le calcul différentiel s'est développé au XVIIe siècle, en même temps que la physique mathématique. Fermat, Huygens, Pascal et Barrow étudient le problème des tangentes, et reconnaissent qu'il est l'inverse du problème des aires. Les travaux de Newton et de Leibniz révèlent ensuite deux visions et deux pratiques différentes de ce calcul. Il faudra attendre la notion de limite pour lui donner des fondements solides.