Composée de deux fonctions

2.1 Définition

Pour calculer $\sqrt{x^2 + 1}$, on fait deux étapes : on calcule d'abord $x^2 + 1$, puis on prend la racine carrée du résultat. On enchaîne deux fonctions.

Définition. Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $v$ une fonction définie sur un intervalle $J$, telles que $u(x)$ appartienne à $J$ pour tout $x$ de $I$. La composée de $u$ suivie de $v$ est la fonction notée $v \circ u$ (on lit « $v$ rond $u$ »), définie sur $I$ par $(v \circ u)(x) = v\big(u(x)\big).$

On l'écrit aussi sous forme d'une chaîne : $x \;\xrightarrow{\;u\;}\; u(x) \;\xrightarrow{\;v\;}\; v\big(u(x)\big)$. On applique d'abord $u$, puis $v$ : dans l'écriture $v \circ u$, la première fonction appliquée est celle de droite.

Exemple 3. Soit $u(x) = x^2 + 1$ sur $\mathbb{R}$ et $v(X) = \sqrt{X}$ sur $[0\,;+\infty[$. Pour tout réel $x$, $u(x) = x^2 + 1 \geq 1 \geq 0$ : la composée $v \circ u$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $(v \circ u)(x) = \sqrt{x^2 + 1}.$ Par exemple, $(v \circ u)(2) = v(5) = \sqrt5$.

2.2 L'ordre compte

Avec les mêmes fonctions, on peut aussi appliquer $v$ d'abord, puis $u$. Pour $x \geq 0$ : $(u \circ v)(x) = u\big(\sqrt{x}\big) = \left(\sqrt{x}\right)^2 + 1 = x + 1.$ Ainsi $(u \circ v)(2) = 3$, alors que $(v \circ u)(2) = \sqrt5 \approx 2{,}236$. En général, $v \circ u$ et $u \circ v$ sont deux fonctions différentes.

2.3 Reconnaître une composée

Pour dériver ou pour chercher une limite, on doit savoir écrire une fonction comme une composée.

Méthode. On se demande quelle est la dernière opération effectuée quand on calcule $f(x)$ à partir de $x$ : c'est la fonction extérieure $v$. Ce qui est « à l'intérieur » est $u(x)$.

2.4 Ensemble de définition

Pour que $v\big(u(x)\big)$ existe, il faut que $u(x)$ existe et que $u(x)$ appartienne à l'ensemble de définition de $v$.

Exemple 4. $f(x) = \sqrt{6 - 2x}$. La racine carrée n'est définie que pour un nombre positif ou nul : il faut $6 - 2x \geq 0$, c'est-à-dire $x \leq 3$. Donc $f$ est définie sur $]-\infty\,;3]$.

Exemple 5. $g(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4}$. Il faut $x^2 - 4 \neq 0$, c'est-à-dire $x \neq 2$ et $x \neq -2$. Donc $g$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-2\,;2\}$.

Exemple 6. $h(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 5}$. Sous forme canonique, $x^2 - 2x + 5 = (x - 1)^2 + 4 \geq 4 > 0$ pour tout réel $x$. Donc $h$ est définie sur $\mathbb{R}$.

2.5 Lien avec les limites

Au chapitre 4, tu as calculé des limites de fonctions composées en posant $X = u(x)$ : on cherche la limite de $X$, puis celle de $v(X)$. C'est exactement la décomposition $v \circ u$. Par exemple, pour $\mathrm{e}^{-x^2}$ en $+\infty$ : $X = -x^2 \to -\infty$, et $\mathrm{e}^X \to 0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} = 0$.