Suites qui tendent vers l'infini

1.1 Un premier exemple

On considère la suite définie par $u_n = n^2$. Ses premiers termes valent $0, 1, 4, 9, 16, \ldots$ et ils grandissent sans s'arrêter.

Choisissons un seuil, par exemple $A = 10\,000$. Si $n \geq 100$, alors $n^2 \geq 100^2 = 10\,000$ : à partir du rang $100$, tous les termes dépassent $10\,000$. Avec $A = 10^6$, il suffit de prendre $n \geq 1000$. Quel que soit le seuil $A$ choisi, on trouve un rang à partir duquel tous les termes dépassent $A$.

1.2 Définition

Définition (programme). La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle de la forme $[A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty.$

Autrement dit : pour tout réel $A$, il existe un rang $N$ tel que, pour tout $n \geq N$, $u_n \geq A$. Le rang $N$ dépend de $A$ : plus $A$ est grand, plus il faut aller loin.

Définition (programme). La suite $(u_n)$ tend vers $-\infty$ si tout intervalle de la forme $]-\infty\,;A]$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = -\infty$.

Lien entre les deux. $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = -\infty$ si et seulement si $\lim\limits_{n\to+\infty} (-u_n) = +\infty$.

Exemple 1. $v_n = 5 - 2n$. Ses termes valent $5, 3, 1, -1, \ldots$ Pour passer sous $-1000$ : $5 - 2n \leq -1000 \iff 2n \geq 1005 \iff n \geq 502{,}5$. À partir du rang $503$, $v_n \leq -1000$. Plus généralement, pour tout réel $A$, $5 - 2n \leq A \iff n \geq \dfrac{5 - A}{2}$ : tout intervalle $]-\infty\,;A]$ contient les termes à partir d'un certain rang. Donc $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n = -\infty$.

1.3 Suites croissantes non majorées

Rappel : une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ ; elle est minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$.

Théorème (démonstration du programme). Toute suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$.

Démonstration. Soit $A$ un réel quelconque.

1. La suite n'est pas majorée, donc $A$ n'est pas un majorant : il existe un rang $N$ tel que $u_N > A$.
2. La suite est croissante, donc pour tout $n \geq N$, $u_n \geq u_N$, et donc $u_n > A$.
3. Ainsi, l'intervalle $[A\,;+\infty[$ contient tous les termes à partir du rang $N$. C'est la définition : $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.

De même, toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$ (même raisonnement, ou on l'applique à $(-u_n)$).

Exemple 2. $u_n = \sqrt n$.

• La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;+\infty[$, donc $(u_n)$ est croissante.
• Elle n'est pas majorée : soit $M > 0$ ; si $n > M^2$, alors $\sqrt n > \sqrt{M^2} = M$. Aucun réel $M$ n'est donc un majorant.

D'après le théorème, $\lim\limits_{n\to+\infty} \sqrt n = +\infty$.

1.4 Deux pièges

« Non majorée » ne suffit pas. La suite $w_n = n\big(1 + (-1)^n\big)$ vaut $2n$ si $n$ est pair et $0$ si $n$ est impair. Elle n'est pas majorée (ses termes pairs dépassent tout réel), mais une infinité de ses termes valent $0$ : elle ne tend pas vers $+\infty$.

Écrire la négation. Dire que « $(u_n)$ ne tend pas vers $+\infty$ », c'est nier « pour tout réel $A$, il existe un rang $N$ tel que, pour tout $n \geq N$, $u_n \geq A$ ». La négation est :

il existe un réel $A$ tel que, pour tout rang $N$, il existe un entier $n \geq N$ avec $u_n < A$.

Pour $(w_n)$, le réel $A = 1$ convient : pour tout rang $N$, l'entier impair $n = 2N + 1$ vérifie $n \geq N$ et $w_n = 0 < 1$.

« Croissante » ne suffit pas. La suite $u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$ est croissante, mais $u_n < 1$ pour tout $n$ : elle est majorée par $1$ et ne tend pas vers $+\infty$. On verra à la leçon 2 qu'elle converge vers $1$.

Enfin, une suite qui tend vers $+\infty$ n'est pas forcément croissante : $t_n = n + 2(-1)^n$ vérifie $t_n \geq n - 2$, donc $t_n \geq A$ dès que $n \geq A + 2$ ; elle tend vers $+\infty$, mais $t_1 = -1 < t_0 = 2$.