Modéliser une évolution par une suite

Le programme demande d'« étudier des phénomènes d'évolution modélisables par une suite ». Voici un exemple complet.

8.1 La situation

Une ville lance un service de vélos en libre-service. Au lancement, on compte $2000$ abonnés. Chaque mois, $15\,\%$ des abonnés résilient leur abonnement et $450$ nouvelles personnes s'abonnent. On note $u_n$ le nombre d'abonnés au bout de $n$ mois.

Garder $85\,\%$ des abonnés revient à multiplier par $0{,}85$. Donc $u_0 = 2000$ et, pour tout $n$ : $u_{n+1} = 0{,}85\,u_n + 450.$

8.2 Une suite auxiliaire géométrique

On cherche d'abord le réel $\ell$ qui « ne bouge pas » : $\ell = 0{,}85\,\ell + 450 \iff 0{,}15\,\ell = 450 \iff \ell = 3000$.

On pose $v_n = u_n - 3000$. Alors $v_{n+1} = u_{n+1} - 3000 = 0{,}85\,u_n + 450 - 3000 = 0{,}85\,u_n - 2550 = 0{,}85\,(u_n - 3000) = 0{,}85\,v_n.$ La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}85$ et de premier terme $v_0 = 2000 - 3000 = -1000$.

8.3 Forme explicite, limite, sens de variation

• $v_n = -1000 \times 0{,}85^n$, donc $u_n = 3000 - 1000 \times 0{,}85^n$. Vérification : $u_1 = 3000 - 850 = 2150$ et $0{,}85 \times 2000 + 450 = 2150$.
• Limite. $-1 < 0{,}85 < 1$, donc $0{,}85^n \to 0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 3000$.
• Sens de variation. $u_{n+1} - u_n = -1000 \times 0{,}85^{n+1} + 1000 \times 0{,}85^n = 1000 \times 0{,}85^n\,(1 - 0{,}85) = 150 \times 0{,}85^n > 0$ : la suite est croissante.
• Interprétation. Le nombre d'abonnés augmente et se stabilise à long terme autour de $3000$, sans jamais atteindre cette valeur ($u_n < 3000$ pour tout $n$).

8.4 Un seuil

Quand le service dépasse-t-il $2900$ abonnés ? $u_n > 2900 \iff 1000 \times 0{,}85^n < 100 \iff 0{,}85^n < 0{,}1$.

def seuil():
    n = 0
    u = 2000
    while u <= 2900:
        u = 0.85 * u + 450
        n = n + 1
    return n

La fonction renvoie 15 : $u_{14} \approx 2897 \leq 2900$ et $u_{15} \approx 2913 > 2900$. Le service dépasse $2900$ abonnés au bout de $15$ mois.

8.5 La méthode à retenir

Pour une suite $u_{n+1} = a\,u_n + b$ avec $a \neq 1$ :

1. on cherche le réel $\ell$ tel que $\ell = a\,\ell + b$ ;
2. on montre que $v_n = u_n - \ell$ est géométrique de raison $a$ ;
3. on en déduit $u_n = \ell + (u_0 - \ell)\,a^n$, puis la limite avec la leçon 5 ;
4. on interprète les résultats dans la situation (long terme, seuil, sens de variation).