Rappels sur les probabilités conditionnelles

1.1 Probabilité de B sachant A

Définition. Soit $A$ un événement tel que $P(A) \neq 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$ est le nombre $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.$ C'est la probabilité que $B$ soit réalisé quand on sait que $A$ l'est.

Règle du produit. Si $P(A) \neq 0$, alors $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.

Exemple 1 (tableau croisé). Un soir, un cinéma de quartier accueille $400$ spectateurs. Certains paient le tarif réduit ($R$), d'autres le plein tarif ; certains voient un film en version originale ($O$), les autres en version française.

	$O$	$\overline{O}$	Total
$R$	$60$	$140$	$200$
$\overline{R}$	$90$	$110$	$200$
Total	$150$	$250$	$400$

On choisit un spectateur au hasard. Alors $P(R \cap O) = \dfrac{60}{400} = 0{,}15$, $P_R(O) = \dfrac{60}{200} = 0{,}3$ et $P_O(R) = \dfrac{60}{150} = 0{,}4$. Les deux probabilités conditionnelles sont différentes : $P_R(O)$ se lit dans la ligne $R$, $P_O(R)$ dans la colonne $O$.

1.2 L'arbre pondéré

Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes.

1. Les branches du premier niveau portent les probabilités des événements de départ ; celles du second niveau portent des probabilités conditionnelles.
2. Sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches qui en partent vaut $1$.
3. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches (règle du produit).

Exemple 2 (un filtre de messagerie). Dans une messagerie, $10\,\%$ des courriels reçus sont indésirables. Le filtre classe en indésirables $90\,\%$ de ces courriels, mais aussi $5\,\%$ des courriels normaux. On choisit un courriel au hasard ; $S$ : « le courriel est indésirable », $F$ : « le filtre le classe en indésirables ». Ainsi $P(S) = 0{,}1$, $P_S(F) = 0{,}9$ et $P_{\overline{S}}(F) = 0{,}05$.

L'arbre a quatre chemins : $P(S \cap F) = 0{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}09$ ; $P(S \cap \overline{F}) = 0{,}1 \times 0{,}1 = 0{,}01$ ; $P(\overline{S} \cap F) = 0{,}9 \times 0{,}05 = 0{,}045$ ; $P(\overline{S} \cap \overline{F}) = 0{,}9 \times 0{,}95 = 0{,}855$. La somme vaut bien $1$.

1.3 Partition de l'univers et probabilités totales

Définition. Des événements $A_1, A_2, \ldots, A_m$ forment une partition de l'univers $\Omega$ s'ils sont deux à deux incompatibles, de probabilités non nulles, et si leur réunion est $\Omega$. Par exemple, $A$ et $\overline{A}$ forment une partition, si $0 < P(A) < 1$.

Formule des probabilités totales. Si $A_1, \ldots, A_m$ forment une partition de $\Omega$, alors pour tout événement $B$ : $P(B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + \cdots + P(A_m \cap B).$ Sur l'arbre, on additionne les probabilités des chemins qui mènent à $B$.

Exemple 2 (suite). $S$ et $\overline{S}$ forment une partition, donc $P(F) = P(S \cap F) + P(\overline{S} \cap F) = 0{,}09 + 0{,}045 = 0{,}135$.

1.4 Inverser le conditionnement

Exemple 2 (suite). Un courriel est classé en indésirables. La probabilité qu'il le soit vraiment est $P_F(S) = \frac{P(S \cap F)}{P(F)} = \frac{0{,}09}{0{,}135} = \frac23 \approx 0{,}67.$ Environ un courriel classé sur trois est en fait normal : ce sont des faux positifs. Il ne faut pas confondre $P_F(S) \approx 0{,}67$ avec $P_S(F) = 0{,}9$.

1.5 Événements indépendants

Définition. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Propriété. Si $P(A) \neq 0$, $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P_A(B) = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$.

Remarque. Si $A$ et $B$ sont indépendants, $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi : $P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)\big(1 - P(B)\big) = P(A)\,P(\overline{B})$.

Exemple 2 (suite). $P_S(F) = 0{,}9$ alors que $P(F) = 0{,}135$ : les événements $S$ et $F$ ne sont pas indépendants, et c'est heureux pour le filtre. Dans l'exemple 1, $P(R) \times P(O) = 0{,}5 \times 0{,}375 = 0{,}1875 \neq 0{,}15 = P(R \cap O)$ : $R$ et $O$ ne sont pas indépendants non plus.