Calculer avec la loi binomiale

5.1 Les trois types de probabilités

Soit $X$ de loi $\mathcal{B}(n, p)$.

• Une valeur : $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k}$.
• Probabilité cumulée : $P(X \leqslant k) = P(X = 0) + P(X = 1) + \cdots + P(X = k)$, car les événements $\{X = i\}$ sont incompatibles.
• Entre deux valeurs : pour des entiers $a \leqslant b$, $P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a - 1)$. Attention : on retire $P(X \leqslant a - 1)$ et non $P(X \leqslant a)$, pour garder la valeur $a$.

Autres écritures utiles, pour un entier $a$ : $P(X \geqslant a) = 1 - P(X \leqslant a - 1)$ ; $P(X < a) = P(X \leqslant a - 1)$ ; $P(X > a) = 1 - P(X \leqslant a)$.

5.2 À la calculatrice

Les calculatrices du lycée ont un menu des lois de probabilité. On choisit la loi binomiale, puis :

• « probabilité d'une valeur » : on entre $n$, $p$ et $k$, et l'on obtient $P(X = k)$ ;
• « probabilité cumulée » : on entre $n$, $p$ et $k$, et l'on obtient $P(X \leqslant k)$.

Le nom exact des menus dépend du modèle de calculatrice : il est indiqué dans sa notice.

5.3 Un exemple complet

Exemple 10. Un jardinier sème $20$ graines de tomate. Chacune germe avec la probabilité $0{,}85$, indépendamment des autres. On répète $20$ fois la même épreuve de Bernoulli (succès : la graine germe), de façon indépendante, et $X$ compte les succès : $X$ suit la loi $\mathcal{B}(20\,;0{,}85)$.

• $P(X = 17) = \binom{20}{17} \times 0{,}85^{17} \times 0{,}15^3 \approx 0{,}243$, avec $\binom{20}{17} = 1\,140$.
• $P(X \leqslant 15) \approx 0{,}170$ (somme de $16$ probabilités, ou probabilité cumulée).
• $P(15 \leqslant X \leqslant 18) = P(X \leqslant 18) - P(X \leqslant 14) \approx 0{,}824 - 0{,}067 \approx 0{,}757$.
• $P(X \geqslant 18) = 1 - P(X \leqslant 17) \approx 0{,}405$.

La valeur la plus probable est $17$.

5.4 En Python

from math import comb

def proba(n, p, k):
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

def cumul(n, p, k):
    return sum([proba(n, p, i) for i in range(k + 1)])

• comb(n, k) calcule $\binom{n}{k}$ ; p**k est $p^k$.
• range(k + 1) donne les entiers $i$ de $0$ à $k$ ; la liste en compréhension contient les $P(X = i)$, et sum les additionne.

Par exemple, proba(20, 0.85, 17) renvoie 0.24282889614926761 et cumul(20, 0.85, 15) renvoie 0.1701531537313463. Pour un encadrement : cumul(20, 0.85, 18) - cumul(20, 0.85, 14).

En langage naturel, la fonction cumul s'écrit avec une boucle : $s \leftarrow 0$, puis pour $i$ allant de $0$ à $k$, $s \leftarrow s + P(X = i)$.