Succession d'épreuves indépendantes

2.1 Issues et produit cartésien

Quand une expérience enchaîne plusieurs épreuves, une issue est la liste des résultats obtenus, dans l'ordre.

Exemple 3. On lance un dé équilibré à six faces, puis une pièce équilibrée. Une issue est un couple, par exemple $(6\,;P)$. L'ensemble des issues est le produit cartésien $\Omega = \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\} \times \{P\,;F\}$, qui a $6 \times 2 = 12$ éléments (principe multiplicatif, chapitre 6). Les deux lancers n'ont aucune influence l'un sur l'autre, donc $P\big((6\,;P)\big) = \dfrac16 \times \dfrac12 = \dfrac{1}{12}$.

2.2 Le modèle de la succession d'épreuves indépendantes

Modèle (programme). On enchaîne $n$ épreuves ; l'épreuve numéro $i$ a pour ensemble d'issues $\Omega_i$.

• Une issue est une liste $(x_1\,;x_2\,;\ldots\,;x_n)$, où $x_i \in \Omega_i$ est le résultat de l'épreuve $i$.
• L'univers est le produit cartésien $\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2 \times \cdots \times \Omega_n$.
• Si les épreuves sont indépendantes, la probabilité d'une issue est égale au produit des probabilités de ses composantes : $P\big((x_1\,;x_2\,;\ldots\,;x_n)\big) = P(x_1) \times P(x_2) \times \cdots \times P(x_n).$

L'indépendance est une hypothèse du modèle. On la justifie par la situation : lancers successifs, tirages avec remise, appareils qui fonctionnent séparément, etc. On ne cherche pas à la démontrer.

Représentation par un arbre. Chaque niveau correspond à une épreuve. Quand les épreuves sont indépendantes, toutes les branches d'un même niveau portent les mêmes probabilités, celles de l'épreuve correspondante.

2.3 Un exemple : trois feux de circulation

Exemple 4. Sur le trajet du lycée, Inès passe trois feux réglés indépendamment les uns des autres. Elle trouve le premier vert avec la probabilité $0{,}6$, le deuxième avec $0{,}5$, le troisième avec $0{,}7$. On note $V$ (vert) et $R$ (rouge) les résultats. L'arbre a $2 \times 2 \times 2 = 8$ chemins.

Issue	$VVV$	$VVR$	$VRV$	$VRR$	$RVV$	$RVR$	$RRV$	$RRR$
Probabilité	$0{,}21$	$0{,}09$	$0{,}21$	$0{,}09$	$0{,}14$	$0{,}06$	$0{,}14$	$0{,}06$

• Trois feux verts : $P(VVV) = 0{,}6 \times 0{,}5 \times 0{,}7 = 0{,}21$.
• Exactement un feu rouge : les issues $RVV$, $VRV$ et $VVR$ conviennent ; elles sont incompatibles, donc la probabilité est $0{,}14 + 0{,}21 + 0{,}09 = 0{,}44$.
• Au moins un feu rouge : c'est le contraire de $VVV$, de probabilité $1 - 0{,}21 = 0{,}79$.

Les trois feux n'ont pas la même probabilité d'être verts : ce n'est pas encore un schéma de Bernoulli (leçon 3).

2.4 Deux ou trois épreuves quelconques

Les épreuves ne sont pas toujours indépendantes. Sur l'arbre, les branches à partir du second niveau portent alors des probabilités conditionnelles, et l'on multiplie toujours le long d'un chemin (règle du produit de la leçon 1).

Exemple 5 (tirages sans remise). Un sachet contient cinq bonbons : deux à la menthe ($M$) et trois au citron ($C$). On en prend un, puis un second, sans remettre le premier.

• Après un bonbon à la menthe, il reste $1$ bonbon à la menthe sur $4$ : $P_{M_1}(M_2) = \dfrac14$. Après un bonbon au citron, il en reste $2$ sur $4$ : $P_{C_1}(M_2) = \dfrac24 = \dfrac12$.
• $P(M_1 \cap M_2) = \dfrac25 \times \dfrac14 = \dfrac{1}{10}$, et les trois autres chemins ont chacun la probabilité $\dfrac{3}{10}$.
• Par la formule des probabilités totales, $P(M_2) = \dfrac{1}{10} + \dfrac35 \times \dfrac12 = \dfrac{1}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac25$.

Comme $P_{M_1}(M_2) = \dfrac14 \neq \dfrac25 = P(M_2)$, les deux tirages ne sont pas indépendants.